Интервальная оценка

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 21:07, 15 февраля 2010

Интервальное оценивание - один из видов статистического оценивания, предполагающий построение интервала, в котором с некоторой вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра.

Содержание

1 Определение
2 Примеры интервальных оценок
3 Литература
4 См. также
5 Ссылки

Определение

Пусть $\theta$ - неизвестный параметр генеральной совокупности. По сделанной выборке по определенным правилам находятся числа $\theta_1$ и $\theta_2,$ такие чтобы выполнялось неравенство:

$P\{\theta_1 < \theta < \theta_2 \} = 1-\alpha.$

Интервал $(\theta_1, \theta_2)$ является доверительным интервалом для параметра $\theta$ , а число $1-\alpha$ - доверительной вероятностью или надежностью сделанной оценки. Обычно надежность задается заранее, причем выбираются числа близкие к 1 (0.95, 0.99 или 0.999).

Примеры интервальных оценок

Пример 1. Доверительное оценивание по вариационному ряду.

Пусть задана выборка $X^n=(x_1,\cdots,x_n)$ некоторой случайной величины $X.$ Построим вариационный ряд выборки $x^{(1)}<\cdots<x^{(n)}:$

Очевидно, что вероятность попасть в любой из $(n+1)$ - го интервалов значений случайной ведичины $X$ одинакова и равна $\frac1{n+1}.$ Тогда вероятность того, что случайная величина $X$ приняла значение из интервала $(x^{(k)},x^{(l)}),$ где $l>k$ будет равна:

$P_{X^n,x}\{x\in(x^{(k)},x^{(l)})\} = \frac{l-k}{n+1}.$

Вопрос: чему должен быть равен размер выборки $n,$ чтобы вероятность попасть в интервал $(\min\limits_i(x_i), \max\limits_i(x_i))$ составила 95%.

Подставляя значение для доверительной вероятности в формулу выше, получим:

$0.95 = P_{X^n,x}\{x\in(x^{(1)},x^{(n)})\} = \frac{n-1}{n+1},$

откуда $n=39.$

Таким образом, при достаточном для заданной доверительной вероятности числе измерений случайной величины $X$ по набору ее порядковых статистик может быть оценен диапазон принимаемых ею значений.

Пример 2. Доверительный интервал для медианы.

Таблица 1

Пусть задана выборка $X^n=(x_1,\cdots,x_n)$ некоторой случайной величины $X.$

При $n>50$ доверительный интервал для медианы $\tilde x$ определяется порядковыми статистиками

$x_k \leq \tilde x \leq x_{n-k+1},$

где

$k = \frac12 (n-1.64\sqrt n-1)$ при $\alpha=0.1;$

$k = \frac12 (n-1.96\sqrt n-1)$ при $\alpha=0.05;$

$k = \frac12 (n-2.58\sqrt n-1)$ при $\alpha=0.01.$

Для значений $n\leq50$ номера порядковых статистик, заключающих в себе медиану, при $\alpha=0.05$ и $\alpha=0.01$ приведены в таблице 1, взятой из [3].

Пример 3. Доверительный интервал для математического ожидания.

Пусть задана выборка $X^n=(x_1,\cdots,x_n)$ некоторой случайной величины $X$ , арактеристики которой (дисперсия D и математическое ожидание M) неизвестны. Эти параметры оценим так:

$M^*=\frac{\sum\limits_{i=1}^n{x_i}}{n}$

$D^*=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{(x_i-M^*)^2}}{n-1}$ - несмещенная оценка дисперсии.

Величину $\sqrt{D^*}$ называют оценкой средне-квадратичного отклонения. Воспользуемся тем, что величина $M^*$ представляет собой сумму $n$ независимых случайных величин, и, согласно центральной предельной теореме, при достаточно большом $n$ ее закон близок к нормальному. Поэтому будем считать, что величина $M^*$ распределена по нормальному закону. Характеристики этого закона - математическое ожидание и дисперсия - равны соответственно M (настоящее МО случайной величины $X$ ) и $\frac{D}{n}$ (настоящая дисперсия).

Литература

Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006.
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая Школа, 2003.
Закс Л. Статистическое оценивание / Пер. с нем. - М.: Статистика, 1976.

См. также

Ссылки

Interval estimation - Wikipedia

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0»

Категория: Прикладная статистика

@@ Строка 42: / Строка 42: @@
 *Для значений <tex>n\leq50</tex> номера порядковых статистик, заключающих в себе медиану, при <tex>\alpha=0.05</tex> и <tex>\alpha=0.01</tex> приведены в таблице 1, взятой из [3].
+===Пример 3. Доверительный интервал для математического ожидания.===
+Пусть задана выборка <tex>X^n=(x_1,\cdots,x_n)</tex> некоторой [[многомерная случайная величина|случайной величины]] <tex>X</tex>, арактеристики которой (дисперсия D и математическое ожидание M) неизвестны. Эти параметры оценим так:
+::<tex>M^*=\frac{\sum\limits_{i=1}^n{x_i}}{n}</tex>
+::<tex>D^*=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{(x_i-M^*)^2}}{n-1}</tex> - несмещенная оценка дисперсии.
+Величину <tex>\sqrt{D^*}</tex> называют оценкой средне-квадратичного отклонения.
+Воспользуемся тем, что величина <tex>M^*</tex> представляет собой сумму <tex>n</tex> независимых случайных величин, и, согласно центральной предельной теореме, при достаточно большом <tex>n</tex> ее закон близок к нормальному. Поэтому будем считать, что величина <tex>M^*</tex> распределена по нормальному закону. Характеристики этого закона - математическое ожидание и дисперсия - равны соответственно M (настоящее МО случайной величины <tex>X</tex>) и <tex>\frac{D}{n}</tex> (настоящая дисперсия).
 ==Литература==