Ковариационный анализ

Материал из MachineLearning.

Версия от 16:32, 9 января 2009; Serostanov (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Ковариационный анализ - совокупность методов математической статистики, относящихся к анализу моделей зависимости среднего значения некоторой случайной величины $Y$ одновременно от набора количественных факторов $X$ и неколичественных факторов $F$ . По отношению к $Y$ переменные $X$ называются сопутствующими. Факторы $F$ задают сочетания условий качественной природы, при которых были получены наблюдения $Y$ и $X$ , и описываются с помощью так называемых индикаторных переменных, причем среди сопутствующих и индикаторных переменных могут быть как случайные, так и неслучайные (контролируемые в эксперименте).

Если случайная величина $Y$ является вектором, то говорят о многомерном ковариационном анализе.

Постановка задачи

Основные теоретические и прикладные проблемы ковариационного анализа относятся к линейным моделям. В частности, если анализируются $n$ наблюдений $Y_1,...,Y_n$ с $p$ сопутствующими переменными $(X=(x^{(1)},...,x^{(p)}))$ , $k$ возможными типами условий эксперимента $(F=(f_1,...,f_k))$ , то линейная модель соответствующего ковариационного анализа задается уравнением:

$Y_i=\sum\limits_{j=1}^k{f_{ij}\theta_j} + \sum\limits_{j=1}^p{\beta_s(f_i)x_i^{(1)} + \eps_i(f_i)}$

где $i=1,...,n$ , индикаторные переменные $f_{ij}$ равны 1, если j-е условие эксперимента имело место при наблюдении $Y_i$ , и равны 0 в противном случае. Коэффициенты $\theta_j$ определяют эффект влияния j-го условия, $x_i^s$ - значение сопутствующей переменной $x^{(s)}$ , при котором получено наблюдение $Y_i$ . $\beta_s(f_i)$ - значения соответствующих коэффициентов регрессии $Y$ по $x^{(s)}$ , $\eps_i(f_i)$ - случайные ошибки с нулевым математическим ожиданием.

Основное назначение ковариационного анализа - использование в построении статистических оценок $\theta_1,...,\theta_k$ ; $\beta_1,...,\beta_p$ и статистических критериев для проверки различных гипотез относительно значений этих параметров. Если в модели постулировать априори $\beta_1=...=\beta_p=0$ , то получится модель дисперсионного анализа, если же исключить влияние неколичественных факторов (положить $\theta_1=...=\theta_k=0$ ), то получится модель регрессионного анализа.