Конкордация Кенделла

Материал из MachineLearning.

Содержание

1 Пример задачи
2 Определение
3 Статистическая проверка наличия корреляции
- 3.1 Статистика
- 3.2 Критерий
4 Литература
5 См. также
6 Ссылки

Конкордация Кенделла - это непараметрический статистикий тест. Он обычно используется для измерения статистической связи между несколькими выборками. И если для корреляции Пирсона используется дополнительное предположение о нормальности выборок и сравниваются одновременно только две выборки, то в конкордации Кенделла нет предположения о виде распределении и используется любое количество выборок.

Пример задачи

(инвестиционные проекты)

Пусть имеется $n$ объектов (инвестиционных проектов). В экспертный совет по принятию этих проектов входят $k$ человек. Каждый эксперт выставляет оценки каждому проекту в ранговых шкалах. Требуется выяснить, насколько согласны между собой эксперты.

Определение

Пусть заданы $k\ (k \ge 2)$ выборок $x_1=(x_1^1,\ \cdots,x_n^1),\cdots,\ x_k=(x_1^k,\cdots,x_n^k)$ . Они все одинаковой длина $n$ .

Для нахождения статистической связи между несколькими выборками Кенделлом был предложен ранговый коэффициент конкордации

$W=\frac{12}{k^2 (n^3-n)}\sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{k}R_{ij}-\frac{k(n+1)}{2})^2$ ,

где $R_{ij}\in\{1,\cdots,n\}$ - ранг $i$ -го элемента в $X_j$ выборке.

Коэффициент конкордации принимает значения от 0 до 1. Причём он равен 1 при максимальной согласованности и равен 0 при максимальной несогласованности.

Опишем некоторые свойства:

1) $W\in[0,1]$ Причём $W=1$ тогда и только тогда, когда $R_{ij}=R_{il} \ \forall i,j,l$

То, что $W$ не принимает отрицательных значений, объясняется тем, что в отличие от случая парных связей для $k\geq 3$ выборок противоположность согласованности утрачивается: упорядочения могут полностью совпадать, но не могут полностью не совпадать.

2)Коэффициент конкордации (согласованности) Кенделла может быть представлен

$W=\frac{k-1}{k} \frac{2}{k(k-1)}\sum_{i<j}\rho_{x_i x_j}+\frac{1}{k}$

где $\rho_{x_i x_j}$ - коэффициент корреляции Спирмена

$\frac{2}{k(k-1)}\sum_{i<j}\rho_{x_i x_j}$ - среднее арифметическое Спирмена

При $k=2$ получаем, что $W=\frac{\rho+1}{2}$ т.е. коэффициент конкордации $W$ линейно зависит от коэффициента корреляции Спирмена $\rho$

Статистическая проверка наличия корреляции

Проверяется гипотеза $H_0$ : выборки $X_1,\cdots,\ X_k$ независимы.

Статистика

$n(k-1)W$

имеет распрелеление хи-квадрат с $(n-1)$ степенью свободы при больших $n$

Критерий

При $n(k-1)W>\chi_{n-1,\alpha}^2$ нулевая гипотеза об отсутствии статистической связи между выборками должна быть отвергнута с уровнем значимости критерия, равным $\alpha$ . $\chi_{n-1,\alpha}^2$ - $\alpha$ - квантиль хи-квадрат распределения с $(n-1)$ степенью свободы.