Критерий Фридмана

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Литература)
(Описание критерия)
Строка 2: Строка 2:
==Описание критерия==
==Описание критерия==
 +
Дано <tex>kn</tex> наблюдений <tex>x_{ij}</tex>, где <tex>1 \le i \le n, 1 \le j \le k, </tex>.
 +
Через <tex>H_0</tex> обозначим гипотезу о равенстве средних для каждой из <tex>k</tex> групп:
 +
::<tex>\bar{x_1}=\dots=\bar{x_k}</tex>.
 +
Для каждого <tex>i</tex>, где <tex>1 \le i \le n</tex>, упорядочим последовательность
 +
::<tex>x_{i1}, x_{i2}, \dots, x_{ik}</tex>.
 +
Ранг элемента <tex>x_{ij}</tex> внутри такой последовательности обозначим через <tex>r_{ij}</tex>.
 +
Оченвидно,
 +
::<tex>1 \le r_{ij} \le k</tex>.
 +
Статистика критерия имеет вид
 +
::<tex>S = \frac{12n}{k(k+1)}\sum_{j=1}^k(\frac1n \sum_{i=1}^n r_{ij} - \frac{k+1}2)</tex>.
 +
Гипотеза <tex>H_0</tex> принимается, если <tex>S < S_\alpha(n, k)</tex>.
 +
Критические значения <tex>S_\alpha(n, k)</tex> находятся при помощи интерполяции табличных данных.
 +
 +
При <tex>n \ge 13, k \ge 20</tex> применима аппроксимация
 +
::<tex>S_\alpha(n, k) = \chi^2_\alpha(k-1)</tex>.
==Литература==
==Литература==

Версия 13:42, 5 января 2009

Критерий Фридмана является непараметрическим критерием, предназначенным для проверки однородности статистических даннных.

Содержание

Описание критерия

Дано kn наблюдений x_{ij}, где 1 \le i \le n, 1 \le j \le k, . Через H_0 обозначим гипотезу о равенстве средних для каждой из k групп:

\bar{x_1}=\dots=\bar{x_k}.

Для каждого i, где 1 \le i \le n, упорядочим последовательность

x_{i1}, x_{i2}, \dots, x_{ik}.

Ранг элемента x_{ij} внутри такой последовательности обозначим через r_{ij}. Оченвидно,

1 \le r_{ij} \le k.

Статистика критерия имеет вид

S = \frac{12n}{k(k+1)}\sum_{j=1}^k(\frac1n \sum_{i=1}^n r_{ij} - \frac{k+1}2).

Гипотеза H_0 принимается, если S < S_\alpha(n, k). Критические значения S_\alpha(n, k) находятся при помощи интерполяции табличных данных.

При n \ge 13, k \ge 20 применима аппроксимация

S_\alpha(n, k) = \chi^2_\alpha(k-1).

Литература

  1. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
  2. Friedman, Milton (December 1937). "The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance". Journal of the American Statistical Association 32 (200): 675–701.

См. также

Ссылки

Личные инструменты