Математические модели и методы управления сложных систем (курс лекций, В.И.Цурков)

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

В курсе рассматриваются теоретические основы динамического оптимального управления в сложных системах большой размерности. Описываются модели управления с большим числом уравнений и связей, принципы координации, подходы точного, приближённого и итеративного агрегирования, понижения размерности в многомерных задачах управления сложных систем.


Курс читается студентам 5 курса кафедры «Интеллектуальные системы / проектирование и организация систем» ФУПМ МФТИ. Программа лекционного курса рассчитана на 46 часов (два семестра), предусмотрены практические (семинарские) занятия (17 часов).

Замечания для студентов


Программа курса

Необходимые сведения из теории оптимального управления и автоматического регулирования

  • Понятие управляемой системы. Критерий управляемости и наблюдаемости.
  • Формализм Гамильтона-Понтрягина.
  • Принцип оптимальности Беллмана.
  • Управление стохастическими системами. Управление при неопределённости.
  • Фильтр Калмана. Области достижимости.

Иерархические задачи оптимального управления

  • Динамическая транспортная задача.
  • Проблема распределения ресурсов в динамических системах. Примеры с распределёнными параметрами.
  • Наличие перекрёстных связей.

Метод Лагранжа в многоуровневой координации

  • Принцип Пирсона в управлении.
  • Целевая координация. Принцип прогноза взаимодействия.
  • Метод двойственной координации. Метод слаженной координации.

Принцип Бендерса

  • Метод последовательной фиксации параметров.
  • Применение к линейно-квадратичным системам. Доказательство сходимости.

Разностные схемы и двухуровневая методика

  • Изучение задач управления после дискретизации операторов в частных производных.
  • Выявление ленточной структуры матриц.
  • Применение диагональной декомпозиции.

Декомпозиция по временным интервалам

  • Разбиение исходных интервалов на подинтервалы, в которых нарушаются свойства регулярности.
  • Координация на основе условий непрерывности в точках разбиения.

Субоптимальное управление в задачах с обратной связью

  • Задачи с обратной связью. Анализ уравнения Риккати.
  • Искусственное разбиение на подсистемы.
  • Применение к задаче движения тела между круговыми орбитами.

Разложение по областям пространственных переменных

  • Разбиение области на подобласти в управлении системами с распределёнными параметрами.
  • Построение итеративных методов декомпозиции для сопряжённых решений.

Диагональная декомпозиция

  • Редукция систем по одинаковым собственным значениям части матрицы.

Применение метода генерации столбцов

  • Сведение к задачам обобщённого математического программирования задач управления с закреплённым концом.
  • Применение декомпозиции Данцига-Вулфа.

Слабосвязанные системы

  • Выделение диагональных подматриц линейных динамических систем.
  • Оценка радиуса круга, в котором лежат собственные числа указанных подматриц.
  • Модель отклонения движения самолёта.

Влияние перекрёстных связей

  • Критерий слабых перекрёстных связей линейных систем.
  • Слабые связи между подсистемами при наличии обратных связей.
  • Оценки субоптимальных решений.

Расщепление многомерных динамических систем

  • Расщепление в смысле зависимости компоненты вектора выхода от единственной компоненты вектора входа.
  • Критерий расщепления. Отсутствие внутренних взаимодействий.
  • Расщепление в нелинейных динамических системах.

Устойчивость многосвязных систем

  • Понятие многосвязных систем. Критерии устойчивости для подсистем.
  • Метод векторных функций Ляпунова.
  • Критерий устойчивости многосвязных систем. Модель продольного движения самолёта.
  • Нелинейное взаимодействие между подсистемами.

Точное и приближённое агрегирование

  • Правила введения макропеременных. Потеря точности. Восстановление исходных переменных.
  • Выбор агрегирования в линейных системах.
  • Агрегирование в системах с обратной связью.
  • Агрегирование в нелинейных динамических задачах.
  • Агрегирование в экологической модели "хищник-жертва".
  • Агрегирование в межотраслевом балансе.

Итеративное агрегирование

  • Динамические иерархические системы с общим ресурсным ограничением. Правило ввода агрегатов.
  • Локальная монотонность итеративного агрегирования. Постановка с подсистемами с распределёнными параметрами.
  • Аналитическое понимание размерности в линейно-квадратичных задачах. Случай перекрёстных связей.
  • Модели с неопределёнными параметрами. Распределение тепловой энергии по подсистемам. Нелинейная постановка.

Разреженные матрицы

  • Фиксация переменных в подсистемах по сильному и слабому взаимодействиям.
  • Матрицы порогового уровня. Конкретные примеры.

Разложение по методу малого параметра

  • Порождающая задача нулевого приближения.
  • Вспомогательные задачи для нахождения линейного приближения.
  • Случаи декомпозируемости нулевого приближения.


Семинары

  1. Принцип многоуровневой оптимизации Пирсона. Его локальная монотонность по функционалу. Координация на псевдомодели. Случай нелинейных систем. Блочно-сепарабельные связывающие ограничения.
  2. Слабые связи по различию собственных значений диагональных подматриц. Задача об отклонении самолёта.
  3. Задача о зависимости каждой компоненты вектора выхода от единственной компоненты вектора входа.
  4. Метод вектор-функций Ляпунова для анализа устойчивости многосвязных систем.
  5. Принципы введения агрегатов и потеря точности
  6. Итеративное агрегирование в динамических системах с распределёнными и сосредоточенными параметрами.


Литература

Основная литература

  1. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников Н.А., Тихомиров В.Н. Оптимальное управление движением М.:ФИЗМАТЛИТ, 2005 - 376 стр.
  2. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление (линейная теория) М.: Высшая школа, 2001 - 240 стр.
  3. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы Л.: Питер, 2006 - 240 стр.
  4. Ким Д.П. Теория автоматического управления. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2007 - 440 стр.
  5. Понтрягин Л.С. Принцип максимума в оптимальном управлении М.: Едиториал УРСС, 2004. - 64 стр.
  6. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. Изд.2 2005 - 384 стр.

Дополнительная литература

  1. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. - М.: Наука, 1971.
  2. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.Г., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1976.
  3. Поспелов Г.С., Ириков В.А. Программно-целевое планирование и управление. - М.: Сов. радио, 1976.
  4. Поспелов Г.С., Вен В.Л., Солодов В.М., Шафранский В.В., Эрлих А.И. Проблемы программно-целевого планирования и управления. - М.: Наука, 1981.
  5. Сингх М., Титли А. Системы: декомпозиция, оптимизация и управление. - М.: Машиностроение, 1986.
  6. Цурков В.И. Динамические задачи большой размерности. - М.: Наука, 1988.


Программу составил
В.И.Цурков, профессор, д.ф.–м.н.

См. также

Список подстраниц

Математические модели и методы управления сложных систем (курс лекций, В.И.Цурков)/Вопросы
Личные инструменты