Методы парабол (Симпсона) и более высоких степеней (Ньютона - Котеса)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Новая: == Введение == === Постановка математической задачи === == Изложение метода == == Анализ метода == == Числово...)
(Постановка математической задачи)
Строка 2: Строка 2:
=== Постановка математической задачи ===
=== Постановка математической задачи ===
 +
Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла
 +
 +
<tex>J[f]=\int_a^b{f(x)dx}</tex>
 +
 +
где <tex>f(x)</tex> - заданная на отрезке [a,b] функция. На отрезке вводится сетка <tex>\omega=\{x_i:x_0=a<x_1<\ldots<x_i<\ldots<x_N=b\}</tex> и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число
 +
 +
<tex>J_N[f]=\sum_{i=0}^N {c_i f(x_i)}</tex>
 +
 +
где <tex>f(x_i)</tex> - значения функции <tex>f(x)</tex> в узлах <tex>x=x_i</tex> , где <tex>c_i</tex> - весовые множители, зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора <tex>f(x)</tex>. Данная формула называется квадратурной формулой.
 +
 +
Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов <tex>\{x_i\}</tex> и таких весов <tex>\{c_i\}</tex>, чтобы погрешность квадратурной формулы
 +
 +
<tex>D[f]=\sum_{i=0}^N{c_i f(x_i)} - \int_a^b{f(x)dx} = J_N[f] - J[f]</tex>
 +
 +
была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина <tex>D[f]</tex> зависит от гладкости <tex>f(x)</tex>). При построении квадратурной формулы обычно представляют интеграл в виде суммы интегралов вида
 +
 +
<tex>\int_\alpha^\beta{f(x)dx}</tex>
 +
 +
каждый из которых сводится к стандартному интегралу по отрезку единичной длины
 +
 +
<tex>L[f]=\int_0^1{f(s)ds}</tex>
 +
 +
с помощью замены
 +
 +
<tex>x=\alpha+(\beta-\alpha)s</tex>,
 +
 +
<tex>f(x)=f(\alpha+(\beta-\alpha)s)</tex>
== Изложение метода ==
== Изложение метода ==

Версия 13:45, 25 сентября 2008

Содержание

Введение

Постановка математической задачи

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла

J[f]=\int_a^b{f(x)dx}

где f(x) - заданная на отрезке [a,b] функция. На отрезке вводится сетка \omega=\{x_i:x_0=a<x_1<\ldots<x_i<\ldots<x_N=b\} и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число

J_N[f]=\sum_{i=0}^N {c_i f(x_i)}

где f(x_i) - значения функции f(x) в узлах x=x_i , где c_i - весовые множители, зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора f(x). Данная формула называется квадратурной формулой.

Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов \{x_i\} и таких весов \{c_i\}, чтобы погрешность квадратурной формулы

D[f]=\sum_{i=0}^N{c_i f(x_i)} - \int_a^b{f(x)dx} = J_N[f] - J[f]

была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина D[f] зависит от гладкости f(x)). При построении квадратурной формулы обычно представляют интеграл в виде суммы интегралов вида

\int_\alpha^\beta{f(x)dx}

каждый из которых сводится к стандартному интегралу по отрезку единичной длины

L[f]=\int_0^1{f(s)ds}

с помощью замены

x=\alpha+(\beta-\alpha)s,

f(x)=f(\alpha+(\beta-\alpha)s)

Изложение метода

Анализ метода

Числовой пример

Рекомендации программисту

Заключение

Список литературы

Личные инструменты