Методы парабол (Симпсона) и более высоких степеней (Ньютона - Котеса)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(/)
(→Введение)
Строка 41: Строка 41:
на частичном отрезке <tex>[x_{i-1},x_i]</tex> и воспользоваться свойством <tex>(3)</tex>.
на частичном отрезке <tex>[x_{i-1},x_i]</tex> и воспользоваться свойством <tex>(3)</tex>.
 +
 +
=== Построение квадратурных формул ===
== Изложение метода ==
== Изложение метода ==

Версия 14:39, 26 сентября 2008

автор: Гордеев Дмитрий

Содержание

Введение

Постановка математической задачи

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла
J[f]=\int_a^b{f(x)dx},
(1)

где f(x) - заданная и интегрируемая на отрезке [a,b] функция. На отрезке вводится сетка \omega=\{x_i:x_0=a<x_1<\ldots<x_i<\ldots<x_N=b\} и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число

J_N[f]=\sum_{i=0}^N {c_i f(x_i)},
 (2)

где f(x_i) - значения функции f(x) в узлах x=x_i , где c_i - весовые множители, зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора f(x). Формула (2) называется квадратурной формулой.

Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов \{x_i\} и таких весов \{c_i\}, чтобы погрешность квадратурной формулы
D[f]=\sum_{i=0}^N{c_i f(x_i)} - \int_a^b{f(x)dx} = J_N[f] - J[f]


была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина D[f] зависит от гладкости f(x)). Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов. Введем на [a,b] равномерную сетку с шагом h, т.е. множество точек \omega_h=\{x_i=a+ih, i=0,1,\ldots,N,hN=b-a}, и представим интеграл (1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:

\int_a^b{f(x)dx}=\sum_{i=1}^N{\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}}.
 (3)

Для построения формулы численного интегрирования на всм отрезке [a,b] достаточно построить квадратурную формулу для интеграла

\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}
 (4)

на частичном отрезке [x_{i-1},x_i] и воспользоваться свойством (3).

Построение квадратурных формул

Изложение метода

Анализ метода

Числовой пример

Рекомендации программисту

Заключение

Список литературы

  • А.А.Самарский, А.В.Гулин.  Численные методы М.: Наука, 1989.
  • А.А.Самарский.  Введение в численные методы М.: Наука, 1982.
Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D0%BB_%28%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0%29_%D0%B8_%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B5_%D0%B2%D1%8B%D1%81%D0%BE%D0%BA%D0%B8%D1%85_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%B9_%28%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0_-_%D0%9A%D0%BE%D1%82%D0%B5%D1%81%D0%B0%29»
Личные инструменты