Методы парабол (Симпсона) и более высоких степеней (Ньютона - Котеса)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Построение квадратурных формул)
Строка 82: Строка 82:
так как она точна для <tex>f(s)=(s-\frac{1}{2})^3</tex>:
так как она точна для <tex>f(s)=(s-\frac{1}{2})^3</tex>:
-
<center><tex>J_3[(s-\frac{1}{2})^3]=\frac{1}{6}((-\frac{1}{2})^3+4\cdot 0+(\frac{1}{2})^3)=0,</tex></center>
+
<center><tex>J_2[(s-\frac{1}{2})^3]=\frac{1}{6}((-\frac{1}{2})^3+4\cdot 0+(\frac{1}{2})^3)=0,</tex></center>
<center><tex>L[(s-\frac{1}{2})^3]=\int_0^1{(s-\frac{1}{2})^3ds}=0.</tex></center>
<center><tex>L[(s-\frac{1}{2})^3]=\int_0^1{(s-\frac{1}{2})^3ds}=0.</tex></center>
Строка 101: Строка 101:
Формулы такого типа называют квадратурными '''формулами Котеса'''.
Формулы такого типа называют квадратурными '''формулами Котеса'''.
 +
 +
=== Примеры квадратурных формул ===
 +
 +
:Приведем примеры квадратурных формул Котеса на равнемерной сетке с шагом <tex>h:</tex> <tex>\omega_h=\{x_i=a+ih, i=0,1,\ldots,N,hN=b-a}</tex>, где обозначим <tex>f_i=f(a+ih)</tex>:
 +
*для 3 точек(метод Симпсона), <tex>m=2:</tex>
 +
 +
<center><tex>J_2[f]=\frac{1}{3}h(f_0+4f_1+f_2),</tex></center>
 +
<center><tex>c_0=c_2=\frac{1}{6},c_1=\frac{4}{6}.</tex></center>
 +
 +
*для 4 точек, <tex>m=3:</tex>
 +
 +
<center><tex>J_3[f]=\frac{3}{8}h(f_0+3f_1+3f_2+f_3),</tex></center>
 +
<center><tex>c_0=c_3=\frac{1}{8},c_1=c_2=\frac{3}{8}.</tex></center>
 +
 +
*для 5 точек, <tex>m=4:</tex>
 +
 +
<center><tex>J_4[f]=\frac{2}{45}h(7f_0+32f_1+12f_2+32f_3+7f_4),</tex></center>
 +
<center><tex>c_0=c_4=\frac{7}{90},c_1=c_3=\frac{32}{90},c_2=\frac{12}{90}.</tex></center>
 +
 +
*для 6 точек, <tex>m=5:</tex>
 +
<center><tex>J_5[f]=\frac{5}{288}h(19f_0+75f_1+50f_2+50f_3+75f_4+19f_5),</tex></center>
 +
 +
*для 7 точек, <tex>m=6:</tex>
 +
<center><tex>J_6[f]=\frac{1}{140}h(41f_0+216f_1+27f_2+272f_3+27f_4+216f_5+41f_6),</tex></center>
 +
 +
*для 8 точек, <tex>m=7:</tex>
 +
<center><tex>J_7[f]=\frac{7}{17280}h(751f_0+3577f_1+1323f_2+2989f_3+2989f_4+1323f_5+3577f_6+751f_7),</tex></center>
 +
 +
*для 9 точек, <tex>m=8:</tex>
 +
<center><tex>J_8[f]=\frac{4}{14175}h(989f_0+5888f_1-928f_2+10496f_3-4540f_4+10496f_5-928f_6+5888f_7+989f_8),</tex></center>
 +
 +
*для 10 точек, <tex>m=9:</tex>
 +
<center><tex>J_9[f]=\frac{9}{89600}h(2857f_0+15741f_1+1080f_2+19344f_3+5778f_4+5778f_5+19344f_6+1080f_7+15741f_8+2857f_9),</tex></center>
 +
 +
*для 11 точек, <tex>m=10:</tex>
 +
<center><tex>J_{10}[f]=\frac{5}{299376}h(16067f_0+106300f_1-48525f_2+272400f_3-260550f_4+427368f_5-260550f_6+272400f_7-48525f_8+106300f_9+16067f_{10}).</tex></center>
== Изложение метода ==
== Изложение метода ==
Строка 115: Строка 151:
* ''А.А.Самарский, А.В.Гулин.''&nbsp; Численные методы М.: Наука, 1989.
* ''А.А.Самарский, А.В.Гулин.''&nbsp; Численные методы М.: Наука, 1989.
* ''А.А.Самарский.''&nbsp; Введение в численные методы М.: Наука, 1982.
* ''А.А.Самарский.''&nbsp; Введение в численные методы М.: Наука, 1982.
 +
* http://mathworld.wolfram.com/Newton-CotesFormulas.html

Версия 17:20, 26 сентября 2008

автор: Гордеев Дмитрий

Содержание

Введение

Постановка математической задачи

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла
J[f]=\int_a^b{f(x)dx},
(1)

где f(x) - заданная и интегрируемая на отрезке [a,b] функция. На отрезке вводится сетка \omega=\{x_i:x_0=a<x_1<\ldots<x_i<\ldots<x_N=b\} и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число

J_N[f]=\sum_{i=0}^N {c_i f(x_i)},
(2)

где f(x_i) - значения функции f(x) в узлах x=x_i , где c_i - весовые множители, зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора f(x). Формула (2) называется квадратурной формулой.

Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов \{x_i\} и таких весов \{c_i\}, чтобы погрешность квадратурной формулы
D[f]=\sum_{i=0}^N{c_i f(x_i)} - \int_a^b{f(x)dx} = J_N[f] - J[f]


была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина D[f] зависит от гладкости f(x)). Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов. Введем на [a,b] равномерную сетку с шагом h, т.е. множество точек \omega_h=\{x_i=a+ih, i=0,1,\ldots,N,hN=b-a}, и представим интеграл (1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:

\int_a^b{f(x)dx}=\sum_{i=1}^N{\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}}.
(3)

Для построения формулы численного интегрирования на всм отрезке [a,b] достаточно построить квадратурную формулу для интеграла

\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}
(4)

на частичном отрезке [x_{i-1},x_i] и воспользоваться свойством (3).

Построение квадратурных формул

В силу вышеизложенного выше, вычисление приближенного значения интеграла производится при помощи квадратурной формулы
\int_a^b{f(s)ds}\approx\sum_{k=0}^m{c_kf(s_k)}.

Данную формулу при помощи замены x=a+(b-a)s, f(x)=f(a+(b-a)s) можно привести к стандартному виду

\int_0^1{f(s)ds}\approx\sum_{k=0}^m{c_kf(s_k)}.
(5)

В общем случае узлы и веса неизвестны и подлежат определению.

Рассмотрим случай, когда узлы заданы и требуется найти веса квадратурной формулы \{c_k\}. Будем пользоваться требованием: формула (5) должна быть точной для любого полинома P_r(s) степени r\le m. Для того чтобы полином степени r удовлетворял данному требованию, достаточно потребовать, чтобы квадратурная формула была точной для любого одночлена s^\sigma степени \sigma (\sigma=0,1,\ldots,r). Учитывая, что J[s^\sigma]=\frac{1}{\sigma+1}, получаем m+1 уравнение

c_0+c_1+\ldots+c_m=1,
c_0 s_0+c_1 s_1+\ldots+c_m s_m=\frac{1}{2},


.........................................


c_0 s_0^\sigma + c_1 s_1^\sigma + \ldots + c_m s_m^\sigma=\frac{1}{\sigma+1},


.........................................


c_0 s_0^m + c_1 s_1^m + \ldots + c_m s_m^m=\frac{1}{m+1}.

Эта система имеет единственное решение, так как ее определителем является определитель Вандермонда, отличный от нуля если нет совпадающих узлов, s_0<s_q<\ldots<s_m.

Так, полагая m=2,s_0=0,s_1=\frac{1}{2},s_2=1, имеем систему c_0+c_1+c_2=1, \frac{c_1}{2}+c_2=\frac{1}{2}, \frac{c_1}{4}+c_2=\frac{1}{3}, решением которой являются веса формулы Симпсона: c_0=c_2=\frac{1}{6},c_1=\frac{4}{6}. Таким образом, формула Симпсона является точной для полинома второй степени. Однако, в силу симметрии, она является точной и для всех полиномов третьей степени:

P_3(s)=1+\alpha_1 (s-\frac{1}{2})+\alpha_2 (s-\frac{1}{2})^2 +\alpha_3 (s-\frac{1}{2})^3,

так как она точна для f(s)=(s-\frac{1}{2})^3:

J_2[(s-\frac{1}{2})^3]=\frac{1}{6}((-\frac{1}{2})^3+4\cdot 0+(\frac{1}{2})^3)=0,
L[(s-\frac{1}{2})^3]=\int_0^1{(s-\frac{1}{2})^3ds}=0.

Формулы треугольника и трапеции точны для линейной функции,т.е. для полинома первой степени, в чем легко убедиться непосредственно. В общем случае в качестве P_m(s) можно выбрать интерполяционный полином Лагранжа

P_m(s)=\sum_{k=0}^m{l_k^{(m)}(s)f(s_k)},

где l_k^{(m)}(s) - интерполяционный коэффициент Лагранжа. Из равенства

L[P_m]=\int_0^1{P_m(s)ds}=\sum_{k=0}^m{f(s_k)\int_0^1{l_k^{(m)}(s)ds}}=\sum_{k=0}^m{c_k f(s_k)}

видно, что формула (5) верна для полинома степени m, если весовые коэффициенты c_k определяются по формуле

c_k=\int_0^1{l_k^{(m)}(s)ds}.
(6)

Формулы такого типа называют квадратурными формулами Котеса.

Примеры квадратурных формул

Приведем примеры квадратурных формул Котеса на равнемерной сетке с шагом h: \omega_h=\{x_i=a+ih, i=0,1,\ldots,N,hN=b-a}, где обозначим f_i=f(a+ih):
  • для 3 точек(метод Симпсона), m=2:
J_2[f]=\frac{1}{3}h(f_0+4f_1+f_2),
c_0=c_2=\frac{1}{6},c_1=\frac{4}{6}.
  • для 4 точек, m=3:
J_3[f]=\frac{3}{8}h(f_0+3f_1+3f_2+f_3),
c_0=c_3=\frac{1}{8},c_1=c_2=\frac{3}{8}.
  • для 5 точек, m=4:
J_4[f]=\frac{2}{45}h(7f_0+32f_1+12f_2+32f_3+7f_4),
c_0=c_4=\frac{7}{90},c_1=c_3=\frac{32}{90},c_2=\frac{12}{90}.
  • для 6 точек, m=5:
J_5[f]=\frac{5}{288}h(19f_0+75f_1+50f_2+50f_3+75f_4+19f_5),
  • для 7 точек, m=6:
J_6[f]=\frac{1}{140}h(41f_0+216f_1+27f_2+272f_3+27f_4+216f_5+41f_6),
  • для 8 точек, m=7:
J_7[f]=\frac{7}{17280}h(751f_0+3577f_1+1323f_2+2989f_3+2989f_4+1323f_5+3577f_6+751f_7),
  • для 9 точек, m=8:
J_8[f]=\frac{4}{14175}h(989f_0+5888f_1-928f_2+10496f_3-4540f_4+10496f_5-928f_6+5888f_7+989f_8),
  • для 10 точек, m=9:
J_9[f]=\frac{9}{89600}h(2857f_0+15741f_1+1080f_2+19344f_3+5778f_4+5778f_5+19344f_6+1080f_7+15741f_8+2857f_9),
  • для 11 точек, m=10:
J_{10}[f]=\frac{5}{299376}h(16067f_0+106300f_1-48525f_2+272400f_3-260550f_4+427368f_5-260550f_6+272400f_7-48525f_8+106300f_9+16067f_{10}).

Изложение метода

Анализ метода

Числовой пример

Рекомендации программисту

Заключение

Список литературы

Личные инструменты