Метод Бенджамини-Хохберга

Материал из MachineLearning.

Версия от 09:35, 6 февраля 2014; Ildar (Обсуждение | вклад)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

Метод Бенджамини-Хохберга — один из методов контроля ожидаемой доли ложных отклонений гипотез (FDR) который утверждает, что при определенных ограничениях на статистики гипотез T_i для достижения контроля FDR на уровне \alpha достаточно, чтобы отвергались гипотезы H_i, для которых p_i \le \frac{i\alpha}{m}, где m — количество гипотез.

Содержание

Определение

Пусть H_{1},...,H_{m} — семейство гипотез, а p_{1},...,p_{m} — соответствующие им достигаемые уровни значимости. Обозначим за R - число отвергнутых гипотез, а за V - число неверно отвергнутых гипотез, т.е. число ошибок первого рода.

Ожидаемая доля ложных отклонений гипотез, или FDR, определяется следующим образом

FDR\:=\: \operator{E}\left(\frac{V}{R}[R > 0]\right)

Контроль над FDR на уровне \alpha означает, что

FDR\:=\: \operator{E}\left(\frac{V}{R}[R > 0]\right) \leq \alpha

Метод Бенджамини-Хохберга

Это нисходящая процедура(по аналогии с методом Холма и методом Шидака-Холма) со следующими уровнями значимости

\alpha_1 = \frac{\alpha}{m}\:,\:\dots\:,\:\alpha_i = \frac{i\alpha}{m}\:, \:\dots\:, \:\alpha_m = \alpha

Метод обеспечивает контроль над FDR на уровне \alpha при условии, что статистики T_i независимы или выполняется следующее свойство (PRDS on T_i,\: i \in M_0):

\operator{P}(X\in D|T_i=x) не убывает по x\:\forall i\in M_0,

где M_0 - множество индексов верных гипотез, D - произвольное возрастающее множество, то есть, такое, что из x\in D и y \geq x следует y\in D

Альтернативная постановка

Переходим к модифицированным достигаемым уровням значимости:

\tilde p_{(i)}\: =\: \min(1,\: \max(\frac{mp_{(i)}}{i}, \:\tilde p_{(i-1)})),

где p_{(i)} - i-ый член вариационного ряда достигаемых уровней значимости

p_{(1)} \: \leq\: p_{(2)}\: \leq \: \dots \: \leq p_{(m)}

Пример

n=20, \;m=200, \;m_0 = 150;

X_{ij} \sim N(0,1), \;i=1,\ldots,m_0, \;j=1,\ldots,n;

X_{ij} \sim N(1,1),\; i=m_0+1,\ldots,m, \;j=1,\ldots,n;

H_i: EX_{ij} = 0, \;H_i': EX_{ij} \ne 0;

для проверки используем одновыборочный критерий Стьюдента.

С поправкой Холма(метод Холма):

Верных H_i Неверных H_i Всего
Принятых H_i 150 24 174
Отвергнутых H_i 0 26 26
Всего 150 50 200


С методом Бенджамини-Хохберга:

Верных H_i Неверных H_i Всего
Принятых H_i 148 4 152
Отвергнутых H_i 2 46 48
Всего 150 50 200

Реализации

Ссылки

  • Hochberg, Y.; Benjamini, Y. (1990). "More powerful procedures for multiple significance testing". Statistics in Medicine 9 (7): 811–818. doi. PMID 2218183.

См. также

Метод Холма

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%91%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B6%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8-%D0%A5%D0%BE%D1%85%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%B3%D0%B0»
Личные инструменты