Модель панельных данных со случайными эффектами

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Новая: == Литература == == См. также == == Ссылки == {{Stub|}} Категория: Прикладная статистика)
Строка 1: Строка 1:
 +
'''Модель панельных данных со случайными эффектами ''' ('''''random effect model''''') опирается на структуру панельных данных, что позволяет учитывать неизмеримые индивидуальные различия объектов. Эти отличия называются '''эффектами'''. В данной модели предполагается, что индивидуальные отличия носят случайный характер.
 +
 +
== Обозначения ==
 +
Введем обозначения:
 +
* <tex> i = 1,...,n</tex> – номера объектов, <tex>t = 1,...,T</tex> – моменты времени, <tex>k </tex> – число признаков.
 +
* <tex> x_{it}</tex> – набор независимых переменных (вектор размерности <tex>k </tex>)
 +
* <tex> y_{it}</tex> – зависимая переменная для экономической единицы <tex>i</tex> в момент времени <tex>t</tex>
 +
* <tex> \varepsilon_{it}</tex> – соответствующая ошибка.
 +
* Обозначим также:
 +
::<tex> \begin{equation*} y_i= \left[y_{i1} \\ ...\\ y_{iT} \right] \text{,} \quad X_i= \left[ x'_{i1} \\ ...\\ x'_{iT} \right] \text{,} \quad \varepsilon_i= \left[ \varepsilon_{i1} \\ ...\\ \varepsilon_{iT} \right]. \end{equation*} </tex>
 +
*Введем также «объединенные» наблюдения и ошибки:
 +
::<tex> \begin{equation*} y= \left[ y_1 \\ ...\\ y_n \right] \text{,} \quad X= \left[ X_1 \\ ...\\ X_n \right] \text{,} \quad \varepsilon= \left[ \varepsilon_1 \\ ...\\ \varepsilon_n \right]. \end{equation*}</tex>
 +
 +
Здесь <tex>y,\; \varepsilon</tex> – <tex>nT \times 1</tex> векторы, <tex>X</tex> – <tex>nT \times k</tex> матрица.
 +
 +
== Описание модели панельных данных со случайными эффектами ==
 +
Во введенных обозначениях (см. также [[Объединённая модель панельных данных]]) '''модель панельных данных со случайными эффектами''' описывается уравнением
 +
{{eqno|1}}
 +
::<tex>y_{it} = \mu + x'_{it} \cdot \beta + u_i + \varepsilon_{it}</tex>,
 +
где <tex>\mu</tex> – константа, а <tex>u_i</tex> – случайная ошибка, инвариантная по времени для каждого объекта.
 +
 +
'''Параметры модели''': <tex>\beta \in \mathbb{R}^k,\; \mu \in \mathbb{R}</tex>.
 +
 +
=== Основные предположения ===
 +
Предположим, что выполнены следующие условия:
 +
# ошибки <tex>\varepsilon_{it}</tex> некоррелированы между собой по <tex> i</tex> и <tex>t </tex>, <tex>\mathbb{E}(\varepsilon_{it}) = 0</tex>, <tex>\mathbb{V}(\varepsilon_{it}) = \sigma_{\varepsilon }^2</tex>;
 +
# ошибки <tex>\varepsilon_{it}</tex> некоррелированы с регрессорами <tex> x_{js}</tex> при всех <tex>i, j, t, s</tex>;
 +
# ошибки <tex>u_i</tex> некоррелированы между собой по <tex> i</tex>, <tex>\mathbb{E}(u_i) = 0</tex>, <tex>\mathbb{V}(u_i) = \sigma_u^2</tex>;
 +
# ошибки <tex>u_i</tex> некоррелированы с регрессорами <tex> x_{jt}</tex> при всех <tex>i, j, t</tex>: <tex>\mathbb{E}(u_i x_{jt}) = 0</tex>;
 +
# ошибки <tex>u_i</tex> и <tex>\varepsilon_{it}</tex> некоррелированы при всех <tex>i, j, t</tex>: <tex>\mathbb{E}(u_i \varepsilon_{jt}) = 0</tex>.
 +
 +
=== Оценка параметров модели ===
 +
Модель со случайным эффектом {{eqref|1}} можно рассматривать как линейную модель, в которой ошибка <tex>w_{it} = u_i + \varepsilon_{it})</tex> имеет некоторую специальную структуру. Будем рассматривать модель:
 +
{{eqno|2}}
 +
::<tex>y_{it} = \mu + x'_{it} \cdot \beta + w_{it}</tex>.
 +
 +
Для получения оценок параметров <tex>\mu,\; \beta</tex> можно применить обычный [[метод наименьших квадратов]].
 +
Условия 1)-3) гарантируют ''[[несмещённость]] '' и ''[[состоятельность]] '' этих оценок.
 +
Однако ошибки в {{eqref|2}} не являются гомоскедастичными, поэтому для построения эффективных оценок можно воспользоваться [[обобщенный метод наименьших квадратов| обобщенным методом наименьших квадратов]].
 +
== Литература ==
== Литература ==
 +
# {{книга
 +
|автор = Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А.
 +
|заглавие = Эконометрика. Начальный курс
 +
|издательство = М.: Дело
 +
|год = 2004
 +
|страниц = 576
 +
}}
 +
# {{книга
 +
|автор =Коленков С.О.
 +
| заглавие = Прикладной эконометрический анализ в статистическом пакете Stata
 +
|год = 2003
 +
|ссылка = http://www.komkon.org/~tacik/Stata6Ec.pdf
 +
}}
== См. также ==
== См. также ==
 +
* [[Объединённая модель панельных данных]]
 +
* [[Модель панельных данных с фиксированными эффектами]]
 +
* [[Модель панельных данных с временны́ми эффектами]]
 +
* [[Ротационная панель]]
== Ссылки ==
== Ссылки ==
 +
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Panel_data Panel data] (Wikipedia)
 +
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Panel_analysis Panel analysis] (Wikipedia)
 +
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Random_effects_model Random effects model] (Wikipedia)
 +
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Fixed_effects_estimator Fixed effects estimation] (Wikipedia)
 +
* [http://teaching.sociology.ul.ie/DCW/confront/node45.html Fixed and random effects models]
 +
{{UnderConstruction|[[Участник:Юлия Власова|Юлия Власова]] 23:32, 8 января 2009 (MSK)}}
{{Stub|}}
{{Stub|}}
-
 
[[Категория: Прикладная статистика]]
[[Категория: Прикладная статистика]]

Версия 20:32, 8 января 2009

Модель панельных данных со случайными эффектами (random effect model) опирается на структуру панельных данных, что позволяет учитывать неизмеримые индивидуальные различия объектов. Эти отличия называются эффектами. В данной модели предполагается, что индивидуальные отличия носят случайный характер.

Содержание

Обозначения

Введем обозначения:

  • i = 1,...,n – номера объектов, t = 1,...,T – моменты времени, k – число признаков.
  • x_{it} – набор независимых переменных (вектор размерности k )
  • y_{it} – зависимая переменная для экономической единицы i в момент времени t
  • \varepsilon_{it} – соответствующая ошибка.
  • Обозначим также:
\begin{equation*} y_i= \left[y_{i1} \\ ...\\ y_{iT} \right] \text{,} \quad X_i= \left[ x'_{i1} \\ ...\\ x'_{iT} \right] \text{,} \quad \varepsilon_i= \left[ \varepsilon_{i1} \\ ...\\ \varepsilon_{iT} \right]. \end{equation*}
  • Введем также «объединенные» наблюдения и ошибки:
\begin{equation*} y= \left[ y_1 \\ ...\\ y_n \right] \text{,} \quad X= \left[ X_1 \\ ...\\ X_n \right] \text{,} \quad \varepsilon= \left[ \varepsilon_1 \\ ...\\ \varepsilon_n \right]. \end{equation*}

Здесь y,\; \varepsilon – nT \times 1 векторы, X – nT \times k матрица.

Описание модели панельных данных со случайными эффектами

Во введенных обозначениях (см. также Объединённая модель панельных данных) модель панельных данных со случайными эффектами описывается уравнением

(1)
y_{it} = \mu + x'_{it} \cdot \beta + u_i + \varepsilon_{it},

где \mu – константа, а u_i – случайная ошибка, инвариантная по времени для каждого объекта.

Параметры модели: \beta \in \mathbb{R}^k,\; \mu \in \mathbb{R}.

Основные предположения

Предположим, что выполнены следующие условия:

  1. ошибки \varepsilon_{it} некоррелированы между собой по i и t , \mathbb{E}(\varepsilon_{it}) = 0, \mathbb{V}(\varepsilon_{it}) = \sigma_{\varepsilon }^2;
  2. ошибки \varepsilon_{it} некоррелированы с регрессорами x_{js} при всех i, j, t, s;
  3. ошибки u_i некоррелированы между собой по i, \mathbb{E}(u_i) = 0, \mathbb{V}(u_i) = \sigma_u^2;
  4. ошибки u_i некоррелированы с регрессорами x_{jt} при всех i, j, t: \mathbb{E}(u_i x_{jt}) = 0;
  5. ошибки u_i и \varepsilon_{it} некоррелированы при всех i, j, t: \mathbb{E}(u_i \varepsilon_{jt}) = 0.

Оценка параметров модели

Модель со случайным эффектом (1) можно рассматривать как линейную модель, в которой ошибка w_{it} = u_i + \varepsilon_{it}) имеет некоторую специальную структуру. Будем рассматривать модель:

(2)
y_{it} = \mu + x'_{it} \cdot \beta + w_{it}.

Для получения оценок параметров \mu,\; \beta можно применить обычный метод наименьших квадратов. Условия 1)-3) гарантируют несмещённость и состоятельность этих оценок. Однако ошибки в (2) не являются гомоскедастичными, поэтому для построения эффективных оценок можно воспользоваться обобщенным методом наименьших квадратов.

Литература

  1. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2004. — 576 с.
  2. Коленков С.О. Прикладной эконометрический анализ в статистическом пакете Stata. — 2003.

См. также

Ссылки


Статья в настоящий момент дорабатывается.
Юлия Власова 23:32, 8 января 2009 (MSK)


Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C_%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%81%D0%BE_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8_%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BC%D0%B8»
Личные инструменты