Объединённая модель панельных данных

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Новая: == Литература == == См. также == == Ссылки == {{Stub|}} Категория: Прикладная статистика)
Строка 1: Строка 1:
 +
== Введение ==
 +
=== Панельные данные (''Panel data'') ===
 +
Имеется множество объектов (индивидуумы, домашние хозяйства, фирмы, регионы, страны и т.п.), занумерованных индексами <tex>i=1,...,n </tex>. Они наблюдаются в моменты времени <tex>t=1,...,T </tex>. Каждый рассматриваемый объект характеризуется <tex>k </tex> переменными (признаками):
 +
::<tex> x_{it}=(x_{it}^1,...,x_{it}^k) \in \mathbb{R}^k</tex>.
 +
 +
Для большинства баз панельных данных характерно, что они содержат наблюдения о большом количестве объектов за относительно короткий промежуток времени.
 +
 +
=== Обозначения ===
 +
Введем обозначения:
 +
* <tex> x_{it}</tex> – набор независимых переменных (вектор размерности <tex>k </tex>)
 +
* <tex> y_{it}</tex> – зависимая переменная для экономической единицы <tex>i</tex> в момент времени <tex>t</tex>
 +
* <tex> \varepsilon_{it}</tex> – соответствующая ошибка.
 +
* Обозначим также:
 +
::<tex> \begin{equation*} y_i= \left[y_{i1} \\ ...\\ y_{iT} \right] \text{,} \quad X_i= \left[ x'_{i1} \\ ...\\ x'_{iT} \right] \text{,} \quad \varepsilon_i= \left[ \varepsilon_{i1} \\ ...\\ \varepsilon_{iT} \right]. \end{equation*} </tex>
 +
 +
*Введем также «объединенные» наблюдения и ошибки:
 +
::<tex> \begin{equation*} y= \left[ y_1 \\ ...\\ y_n \right] \text{,} \quad X= \left[ X_1 \\ ...\\ X_n \right] \text{,} \quad \varepsilon= \left[ \varepsilon_1 \\ ...\\ \varepsilon_n \right]. \end{equation*}</tex>
 +
 +
Здесь <tex>y, \varepsilon</tex> – <tex>nT \times 1</tex> векторы, <tex>X</tex> – <tex>nT \times k</tex> матрица.
 +
 +
=== Преимущества анализа панельных данных перед другими методами ===
 +
Благодаря специальной структуре панельные данные позволяют строить более гибкие и содержательные модели и получать ответы на вопросы, которые недоступны только в рамках, например, моделей, основанных на пространственных данных.
 +
 +
* Возникает возможность учитывать и анализировать индивидуальные отличия между экономическими единицами, что нельзя сделать в рамках стандартных регрессионных моделей.
 +
* Часто ненаблюдаемые факторы коррелированны с другими переменными. В рамках моделей регрессии это означает, что ненаблюдаемый фактор является существенной переменной в модели и ее исключение приводит к смещенным оценкам остальных параметров. Иными словами, модели с панельными данными позволяют получать более точные оценки параметров.
 +
 +
 +
=== Основные модели анализа панельных данных ===
 +
# Объединенная модель панельных данных (Pooled model)
 +
# [[Модель панельных данных с фиксированными эффектами]] (Fixed effect model)
 +
# [[Модель панельных данных со случайными эффектами]] (Random effect model)
 +
 +
== Описание объединенной модели ==
 +
Простейшая модель – это обычная линейная модель регрессии
 +
::<tex> \widehat{y}_{it} = x'_{it} \cdot \beta + \mu = \sum_{j=1}^k {x_{it}^j \cdot \beta_j} + \mu </tex>
 +
или в матричной форме
 +
::<tex> \widehat{y} = X \cdot \beta + \mu</tex>,
 +
которая, по существу, не учитывает панельную структуру данных.
 +
(Здесь <tex>\beta</tex> – неизвестный вектор размера <tex>k \times 1</tex>.)
 +
Считается, что зависимая переменная линейно зависит от всех переменных в тот же момент времени.
 +
 +
В эконометрической литературе данная модель носит название '''объединенной модели регрессии ''' ('''''pooled model''''').
 +
 +
Параметры модели: <tex>\beta \in \mathbb{R}^k, \mu \in \mathbb{R}</tex>. Для настройки параметров можно использовать [[метод наименьших квадратов]]:
 +
::<tex>\sum_{i=1}^n \sum_{t=1}^T (\widehat{y}_{it} - y_{it})^2 \rightarrow \min_{\beta, \mu}</tex>,
 +
 +
== Литература ==
== Литература ==
 +
# {{книга
 +
|автор = Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А.
 +
|заглавие = Эконометрика. Начальный курс
 +
|издательство = М.: Дело
 +
|год = 2004
 +
|страниц = 576
 +
}}
== См. также ==
== См. также ==
 +
* [[Модель панельных данных с фиксированными эффектами]]
 +
* [[Модель панельных данных со случайными эффектами]]
 +
* [[Модель панельных данных с временны́ми эффектами]]
 +
* [[Ротационная панель]]
== Ссылки ==
== Ссылки ==
 +
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Panel_data Panel data] (Wikipedia)
 +
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Panel_analysis Panel analysis] (Wikipedia)
 +
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Random_effects_model Random effects model] (Wikipedia)
 +
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Fixed_effects_estimator Fixed effects estimation] (Wikipedia)
-
{{Stub|}}
 
[[Категория: Прикладная статистика]]
[[Категория: Прикладная статистика]]

Версия 22:43, 7 января 2009

Содержание

Введение

Панельные данные (Panel data)

Имеется множество объектов (индивидуумы, домашние хозяйства, фирмы, регионы, страны и т.п.), занумерованных индексами i=1,...,n . Они наблюдаются в моменты времени t=1,...,T . Каждый рассматриваемый объект характеризуется k переменными (признаками):

x_{it}=(x_{it}^1,...,x_{it}^k) \in \mathbb{R}^k.

Для большинства баз панельных данных характерно, что они содержат наблюдения о большом количестве объектов за относительно короткий промежуток времени.

Обозначения

Введем обозначения:

  • x_{it} – набор независимых переменных (вектор размерности k )
  • y_{it} – зависимая переменная для экономической единицы i в момент времени t
  • \varepsilon_{it} – соответствующая ошибка.
  • Обозначим также:
\begin{equation*} y_i= \left[y_{i1} \\ ...\\ y_{iT} \right] \text{,} \quad X_i= \left[ x'_{i1} \\ ...\\ x'_{iT} \right] \text{,} \quad \varepsilon_i= \left[ \varepsilon_{i1} \\ ...\\ \varepsilon_{iT} \right]. \end{equation*}
  • Введем также «объединенные» наблюдения и ошибки:
\begin{equation*} y= \left[ y_1 \\ ...\\ y_n \right] \text{,} \quad X= \left[ X_1 \\ ...\\ X_n \right] \text{,} \quad \varepsilon= \left[ \varepsilon_1 \\ ...\\ \varepsilon_n \right]. \end{equation*}

Здесь y, \varepsilon – nT \times 1 векторы, X – nT \times k матрица.

Преимущества анализа панельных данных перед другими методами

Благодаря специальной структуре панельные данные позволяют строить более гибкие и содержательные модели и получать ответы на вопросы, которые недоступны только в рамках, например, моделей, основанных на пространственных данных.

  • Возникает возможность учитывать и анализировать индивидуальные отличия между экономическими единицами, что нельзя сделать в рамках стандартных регрессионных моделей.
  • Часто ненаблюдаемые факторы коррелированны с другими переменными. В рамках моделей регрессии это означает, что ненаблюдаемый фактор является существенной переменной в модели и ее исключение приводит к смещенным оценкам остальных параметров. Иными словами, модели с панельными данными позволяют получать более точные оценки параметров.


Основные модели анализа панельных данных

  1. Объединенная модель панельных данных (Pooled model)
  2. Модель панельных данных с фиксированными эффектами (Fixed effect model)
  3. Модель панельных данных со случайными эффектами (Random effect model)

Описание объединенной модели

Простейшая модель – это обычная линейная модель регрессии

\widehat{y}_{it} = x'_{it} \cdot \beta + \mu = \sum_{j=1}^k {x_{it}^j \cdot \beta_j} + \mu

или в матричной форме

\widehat{y} = X \cdot \beta + \mu,

которая, по существу, не учитывает панельную структуру данных. (Здесь \beta – неизвестный вектор размера k \times 1.) Считается, что зависимая переменная линейно зависит от всех переменных в тот же момент времени.

В эконометрической литературе данная модель носит название объединенной модели регрессии (pooled model).

Параметры модели: \beta \in \mathbb{R}^k, \mu \in \mathbb{R}. Для настройки параметров можно использовать метод наименьших квадратов:

\sum_{i=1}^n \sum_{t=1}^T (\widehat{y}_{it} - y_{it})^2 \rightarrow \min_{\beta, \mu},


Литература

  1. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2004. — 576 с.

См. также

Ссылки

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D1%91%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C_%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85»
Личные инструменты