Прикладная алгебра (курс лекций, Ю.И. Журавлев, А.Г. Дьяконов)

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА (часть 1)

  • Обязательный курс для студентов каф. ММП 3 курса, читается в 6-м семестре (до 2007/08 уч. года читался в 5-м семестре).
  • Лекции – 32 часа, семинары – 32 часа.
  • Экзамен.
  • За курс отвечает кафедра Математических методов прогнозирования.
  • Авторы программы: академик РАН Ю.И.Журавлёв, доцент А.Г. Дьяконов.
  • Лектор 2007/08 уч. года: доцент А.Г. Дьяконов.

Аннотация

Первая (вводная) часть курса Прикладная алгебра для студентов каф. ММП посвящена введению в высшую алгебру и алгебраическую теорию кодирования. В ней рассматриваются основные алгебраические структуры: группы, кольца, поля. Центральная роль отведена конечным полям, приводится классический пример их приложений – построение кодов, исправляющих ошибки. Курс поддерживается семинарскими занятиями, на которых решаются задачи, и попутно рассматриваются дополнительные вопросы, не отражённые в лекциях. По теме кодирование несколько лекций играют роль семинаров, поскольку на них подробно излагаются методы решений прикладных задач кодирования. Разработано несколько оригинальных домашних контрольных: студенты в течение недели должны решить несколько непростых задач, каждый решает свой вариант, все задачи после сдачи работ подробно разбираются на семинарах. Предусмотрены коллоквиумы по курсу, а также письменные контрольные на знание терминологии и схем доказательств. Основная цель всех этих разработок – постоянный контроль знаний и стимулирование студентов к плотному графику обучения в течение всего семестра.

Содержание курса

Лекции, 6 семестр

1. Группы

1.1. Введение. Алгебра. Алгебраические операции. Группа (определение, простейшие свойства, примеры, терминология). Все конечные группы малых порядков. Симметрические группы. Циклические группы. Подгруппы.

1.2. Группа автоморфизмов. Перестановки. Теорема Кэли. Смежные классы. Отношение эквивалентности в группе (через принадлежность смежным классам). Теорема Лагранжа, ее следствия и невозможность обращения. Задание группы порождающими соотношениями.

1.3. Нормальные делители (нормальные подгруппы). Факторгруппы. Критерий нормальности делителя через сопряженные элементы.

1.4. Гомоморфизм. Ядро и образ гомоморфизма. Естественный (канонический) гомоморфизм. Свойства гомоморфизмов групп. Теорема о гомоморфизмах групп.

2. Кольца

2.1. Кольцо (определение, простейшие свойства, терминология). Кольцо классов вычетов. Свойства сравнений. Корректность операций в кольце классов вычетов. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Теорема о гомоморфизмах колец.

2.2. Евклидовы кольца. Идеалы. Кольца главных идеалов.

2.3. Максимальные идеалы. Необходимое и достаточное условие для кольца классов вычетов быть полем. Кольцо многочленов над полем. Нули многочленов, теорема об остатке и теорема Безу. Неприводимые (простые) многочлены.

3. Векторные пространства.

3.1. Векторное пространство (напоминание определений и свойств, изученных в курсе линейной алгебры). Линейная зависимость. Базис. Лемма Штайнера.

3.2. Изоморфизм векторных пространств. Линейные функционалы. Сопряжённое пространство.

4. Поля

4.1. Тело, поле (определение, терминология, примеры).

4.2. Конечные поля. Число элементов в конечном поле характеристики p. Существование полей порядка pm для всех простых p и натуральных m.

4.3. Существование в конечном поле примитивного элемента (с доказательством вспомогательной леммы из теории групп). Уравнение, которому удовлетворяют все элементы конечного поля. Мультипликативная группа поля.

4.4. Минимальный многочлен (минимальная функция элемента поля). Минимальный многочлен элемента {x} в F[x]/(g(x)).

4.5. Теорема о разложении многочлена Xq^m-X на множители (с доказательством всех вспомогательных лемм).

4.6. Корни многочленов над конечном полем.

5. Кодирование

5.1. Кодирование. Основная задача теории кодирования. Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ). Оценка расстояния между кодовыми вершинами БЧХ. Теорема о линейной независимости в проверочной матрице.

5.2. Структура идеалов в F[x]/(g(x)). Циклические линейные подпространства классов вычетов.

5.3. Другие подходы к кодированию. Матрица Адамара. Примеры кодов.

Практические занятия, 6 семестр

  • 1. Группы
    • 1. Группы. Группы малых порядков [1-7].
    • 2. Моноиды, группы матриц, группы движения плоскости [8-15].
    • 3. Абелевы группы, обратные элементы, порядки элементов [16-22].
    • 4. Порождения групп, коммутаторы, перестановки [23-32].
    • 5. Группы симметрий/поворотов, нормальные делители [33-40].
    • 6. Домашняя контрольная работа [41-80].
    • 7. Классы сопряжённости, автоморфизмы, гомоморфизмы [85-91].
    • 8. Центры, факторгруппы [92-97].
    • 9. Домашняя контрольная работа [98-102].
    • 10. Группа автоморфизмов, характеристическая группа. [103-107]
    • 11. Коммутант(а), группа симметрий квадрата [108-113].
    • 12. Прямое произведение групп [114-122].
    • 13. Некоторые свойства групп [123-125].
    • 14. Домашняя контрольная работа [126-137].
  • 2. Кольца
    • 15. Кольца, идемпотенты, нильпотенты, кольца матриц [138-150].
    • 16. Кольца функций, идеалы [151-156].
    • 17. Системы уравнений, кольца многочленов [157-162].
    • 18. Гомоморфизмы колец [163-166].
    • 19. Идеалы [168-169].
    • 20. Домашняя контрольная работа [177-208].
  • 3. Векторные пространства
    • Нет семинарских занятий по этой подтеме.
  • 4. Поля
    • 21. Изоморфизмы полей [170-176].
    • 22. Автоморфизмы полей, решение уравнений [209-214].
    • 23. Алгебраические и трансцендентные элементы, поля частных [215-220].
  • 5. Кодирование
    • 24. Структура идеалов в {p(x)}F/(g(x).
    • 25. Разложение многочленов на множители, нахождение корней многочленов.
    • 26. Построение кодов БЧХ.

Практические занятия проводятся по разработанному авторами программы сборнику задач. Нумерация в квадратных скобках соответствует версии сборника от 26.12.2006 (сборник постоянно пополняется и обновляется). Авторы не считают целесообразным выкладывать его в общественный доступ.

Литература

1. Журавлёв Ю.И., Флёров Ю.А., Вялый М.Н. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. – М. МЗ Пресс, 2006. – 208 с. (большинство лекций читается по этому учебнику). 2. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976 (хорошо описана тема «Кольца»). 3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. Часть II. Линейная алгебра. Часть III. Основные структуры алгебры: Учебник для вузов (в 3-х томах). М.: Физико-математическая литература, 2000. (хорошие учебное пособие, отлично изложены некоторые факты теории групп). 4. Ван дер Варедн Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976. (классическая монография по алгебре). 5. Касами Т., Токура Н., Ивадари Ё., Инагаки Я. Теория кодирования. М.: Мир, 1978. – 576 с. (тема «Кодирование» читается по этой книге). 6. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 1976. (часть доказательств по теме «Кодирование» взято из этой книги). 7. Халмош П. Конечномерные векторные пространства. – М.: Физматгиз, 1978. (тема «Векторные пространства» читается по этой книге). 8. Сборник задач по алгебре: Учебное пособие / Под. ред. А.И. Кострикина. М.: Факториал, 1995. (многие задачи взяты из этого учебного пособия).

Личные инструменты