Прореживание двухслойной нейронной сети (пример)

Материал из MachineLearning.

Прореживание двухслойной нейронной сети (optimal brain damage) — метод упрощения структуры нейронной сети. Идея прореживания состоит в том, что из сети удаляются параметры, оказывающие малое влияние на ошибку аппроксимации. Таким образом, модель упрощается, а ошибка аппроксимации возрастает незначительно.

Содержание

1 Постановка задачи
2 Настройка нейронной сети
3 Алгоритм оптимального прореживания
4 Примеры на модельных данных
- 4.1 Пример 1: выборка линейно разделима
- 4.2 Пример 2: выборка линейно неразделима
5 Исходный код
6 См. также
7 Литература

Постановка задачи

Задана обучающая выборка $X^l, Y^l$ . Требуется решить задачу классификации с использованием двухслойной нейронной сети, настроив параметры сети - весовые матрицы $W_1$ и $W_2$ , соответствующие соответственно первому и второму слою. Посчитать гессиан $H = \frac{\partial^2\bf{E}(\bf{w})}{\partial \bf{w}^2}$ , где $\bf{w}$ - вектор параметров, $\bf {E}$ - функция стоимости; посчитать функцию выпуклости и упростить сеть, выбросив из нее параметры, соответствующие наименьшей степени выпуклости. Среднеквадратичная ошибка классификации $\bf {E}$ при этом не должна сильно возрасти.

Настройка нейронной сети

Двухслойная нейронная сеть состоит из одного скрытого слоя и выходного слоя. Входной слой - это объект со своим признаковым описанием $x_1, ... , x_n$ . Первый и второй слои сети состоят из так называемых нейронов, или персептронов. Каждый нейрон вычисляет $n$ -арную функцию вида $a(x) = \phi (<w,x>)$ . В нашем случае $\phi$ - сигмоидальная функция активации $\phi(z) = 1 / (1 + e^{-z})$ . Значения признаков $x_i$ поступают на вход первому (скрытому) слою сети с весовой матрицей $W_1$ , выходы первого слоя поступают на вход второму с весовой матрицей $W_2$ .На выходе второго слоя вычисляется вектор-функция $\bf{F} = (F_1(x),...,F_P(x))$ , где $P$ - количество нейронов на втором слое. Необходимо настроить параметры сети, используя алгоритм обратного распространения (back propagation).
Введем функции ошибок: $\bf{E}(\bf{w}) = \frac{1}{2N} \sum_{n = 1}^N \sum_{p = 1}^P(F_p(n) - Y_p(n))^2$ - нормированная среднеквадратичная ошибка, $\bf{E}(n) = \frac{1}{2}\sum_{p = 1}^P (F_p(n) - y_p(n))^2$ - ошибка на конкретном объекте. Пусть $w_{ji}$ - вес, соединяющий нейрон $i$ с нейроном $j$ следующего слоя. Тогда коррекция веса, применяемая к $w_{ji}(n)$ , определяется согласно правилу $\Delta w_{ji} = \eta \bf{\delta}_j(n)y_i(n)$ , где $\bf{\delta}_j(n) = - \frac{\partial \bf{E}(n)}{\partial y_j(n)}\phi_j'(v_j(n))$ - локальный градиент нейрона $j$ . Здесь $y_i(n)$ - выход $i$ -го нейрона, $v_j(n) = \sum_{i = 1}^m w_{ji}(n)y_i(n)$ - значение, которое получает на вход функция активации, соответствующая $j$ -му нейрону ( $m$ - количество его входов), $\eta$ - темп обучения. Для выходного слоя $\frac {\partial \bf{E}(n)}{\partial y_j(n)} = y_j(n) - F_j(n) =: e_j(n)$ , и для него справедливо $\Delta w_{ji} = - \eta e_j(n)\phi_j'(v_j(n))y_i(n)$ . Соответственно, для первого, скрытого, слоя справедлива формула обратного распространения $\delta_j(n) = \phi_j'(v_j(n)) \sum_{p = 1}^P \delta_p(n) w_{pj}(n)$ .

Отметим, что эти формулы взяты из книги С. Хайкина "Нейронные сети. Полный курс".

Алгоритм оптимального прореживания

Описание метода второго порядка приводится в статье Оптимальное прореживание нейронных сетей.
Локальная аппроксимация функции ошибки в окрестности стационарного положения: $E(\mathbf{w}+\Delta\mathbf{w}) = E(\mathbf{w}) + \mathbf{g}^T(\mathbf{w})\Delta\mathbf{w} + \frac{1}{2}\Delta\mathbf{w}^TH\Delta\mathbf{w} +o(\|\mathbf{w}\|^3),$ где $\Delta \mathbf{w}$ — возмущение вектора параметров $\mathbf{w}$ , $\mathbf{g}$ — градиент $\frac{\partial E}{\partial \mathbf{w}}$ , и $H=H(\mathbf{w})$ — матрица вторых производных $\frac{\partial^2 E}{\partial \mathbf{w}^2}$ .
Необходимо минимизировать квадратичную форму $\Delta E = \frac{1}{2}\Delta \bf{w}^T\bf{H}\Delta \bf{w}$ по отношению к $\Delta \bf{w}$ при ограничении $\bf{e}_i^T \Delta \bf{w} + w_i = 0$ . Для решения этой условной задачи строится лагранжиан $S = \frac{1}{2}\Delta \bf{w}^T \bf{H} \Delta \bf{w} - \lambda (\bf{e}_i^T\Delta \bf{w} + w_i)$ . Получаем, что оптимальное приращение вектора весов $\Delta\mathbf{w}=-\frac{w_i}{[H^{-1}]_{ii}}H^{-1}\mathbf{e}_i$ , а соответствующее ему оптимальное значение лагранжиана для элемента $w_i$ : $S_i=\frac{w_i^2}{2[\bf{H}^{-1}]_{ii}}.$

Основное отличие данного метода состоит в допущении, что матрица Гессе является диагональной. Таким образом, алгоритм немного видоизменяется:

Задана выборка $X$ , модель $f(w)$ , функция ошибки $E_X$ . Для упрощения структуры сети выполняем следующие шаги:
1. настраиваем модель, получаем параметры $\bf{w}$ .
2. пока значение ошибки не превосходит заранее заданного (3-5):
3. вычисляем гессиан $H$ согласно формуле
$H_{jk} = \frac{1}{N}\sum_{n = 1}^N \sum_{p = 1}^P ((\frac{\partial F_p}{\partial w_{kj}})^2 - \frac{\partial^2 F_p}{\partial w_{kj}^2}(F_p(n) - Y_p(n)))$
обозначим за $U_j^{(l)}$ аргумент функции активации нейрона $j$ на слое $l$ . Тогда частные производные на втором слое:
$\frac{\partial F_p}{\partial w_{kj}} = \phi'(U_k^{(2)}) \phi (U_j^{(1)});$
$\frac{\partial^2 F_p}{\partial w_{kj}^2} = \phi''(U_k^{(2)}) \phi^2 (U_j^{(1)})$ при $p$ = $k$ и равны 0 при $p \neq k$ ,
а на первом слое
$\frac{\partial F_p}{\partial w_{ji}} = \phi'(U_p^{(2)})w_{pj}\phi'(U_j^{(1)})x_iw_{ij}$ и
$\frac{\partial^2 F_p}{\partial w_{ji}^2} = \phi''(U_p^{(2)})(w_{pj} \phi' (U_j^{(1)})x_iw_{ij})^2 + \phi' (U_p^{(2)})w_{pj} \phi'' (U_j^{(1)})(x_iw_{ij})^2$

4. вычисляем функцию выпуклости $S_i = \frac{w_i^2 H_i}{2}$ , находим $i$ , соответствующее наименьшей степени выпуклости.
5. вес $w_i$ удаляется из сети

Примеры на модельных данных

Пример 1: выборка линейно разделима

На графике показаны результаты классификации. На первом и втором слое сети - по 5 нейронов, количество признаков - 4. Итого получается 45 весов. Видно, что алгоритм сработал без ошибок.

Ниже приведены графики функции выпуклости (одная кривая - зависимость функции выпуклости от суммы модулей параметров) и график зависимости ошибки от количества удаленных параметров.

Видно, что из сети с 45 параметрами можно удалить 18, практически не проиграв в качестве.

Пример 2: выборка линейно неразделима

Те же самые 45 весов. Алгоритм допустил 4 ошибки при классификации:

Графики функции выпуклости и количества ошибок:

Результат прореживания здесь более наглядный: можно удалить 35 из 45 параметров без потери качества.
Для этого случая построим график функции ошибки ( $-ln E$ )в зависимости от параметров. На этом графике красным показаны параметры первого слоя, а синим - второго. В результате применения алгоритма OBD сначала удалялись те параметры, которые на графике видны плохо - именно они не оказывают большого значения на аппроксимацию.