Расстояние Кука

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Расстояние Кука (Cook's distance) является широко используемым методом оценки влияния соответствующего наблюдения (элемента выборки) на уравнение регрессии. Эта величина показывает разницу между вычисленными коэффициентами уравнения регрессии и значениями, которые получились бы при исключении соответствующего наблюдения. В адекватной модели все расстояния Кука должны быть примерно одинаковыми; если это не так, то имеются основания считать, что соответствующее наблюдение (или наблюдения) смещает оценки коэффициентов регрессии.

Метод назван в честь американского ученого Р. Денниса Кука , который ввел данное понятие в 1977 году.

Содержание

Определение

Расстояние Кука оценивает эффект от удаления одного (рассматриваемого) наблюдения и вычисляется по следующей формуле:


 D_i =  \frac{ \sum_{j=1}^n (\hat Y_j\ - \hat Y_{j(i)})^2 }{p \ \mathrm{MSE}},

где

\hat Y_j — предсказание регрессионной модели, построенной по всей выборке, получаемое для j-ого наблюдения,

\hat Y_{j(i)} — предсказание регрессионной модели, построенной по выборке без i-ого наблюдения, получаемое для j-ого наблюдения,

p — количество параметров модели,

 \mathrm{MSE} — среднеквадратичная ошибка модели.

Нахождение и удаление выбросов

Существуют различные подходы к определению выбросов с помощью расстояния Кука. Наиболее распространенной эвристикой считается  D_i > 4/n , где n — количество наблюдений в выборке.


Пример использования

Визуализация наблюдений с помощью расстояния Кука. Красным обозначен уровень 4/n, где n — количество наблюдений (n = 206).
Визуализация наблюдений с помощью расстояния Кука. Красным обозначен уровень 4/n, где n — количество наблюдений (n = 206).

Рассмотрим задачу по оценке эффективность тромболитической терапии. В данной задаче собраны данные по 206 пациентам второго кардиологического отделения московской городской клинической больницы №25. Имеются результаты 14 анализов, а также 8 дополнительных признаков, описывающих пациента (пол, возраст, курение, наличие диабета и т.д.). Построив уравнение регрессии и оценив расстояние Кука, мы можем визуализировать наблюдения и определить выбросы.

Реализации

Построив модель с помощью функции mdl = fitglm(X, y), можем оценить для всех наблюдений расстояние Кука с помощью функций класса: mdl.Diagnostics.CooksDistance.

  • R: в пакете stats реализован метод для оценки расстояния Кука для уже настроенной модели cooks.distance(model, ...).

Ссылки

  • Bollen, Kenneth A.; and Jackman, Robert W. (1990); Regression diagnostics: An expository treatment of outliers and influential cases , in Fox, John; and Long, J. Scott (eds.); Modern Methods of Data Analysis (pp. 257-91).
  • Cook, R. Dennis; and Weisberg, Sanford (1982); Residuals and influence in regression, New York, NY: Chapman & Hall
Личные инструменты