Сезонность

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
-
'''Эта статья находится в разработке'''
 
-
 
В экономике многие явления характеризуются периодически повторяющимися сезонными эффектами. Соответственно временные ряды, их отражающие, содержат периодические сезонные колебания. Эти ряды и их колебания можно представить как генерируемые моделями двух основных типов: моделями с мультипликативными и с аддитивными '''коэффициентами сезонности'''.
В экономике многие явления характеризуются периодически повторяющимися сезонными эффектами. Соответственно временные ряды, их отражающие, содержат периодические сезонные колебания. Эти ряды и их колебания можно представить как генерируемые моделями двух основных типов: моделями с мультипликативными и с аддитивными '''коэффициентами сезонности'''.
Строка 7: Строка 5:
<tex>x_t~=~\xi_t+\epsilon_t</tex>
<tex>x_t~=~\xi_t+\epsilon_t</tex>
-
<tex>\xi_t = a_{l,t}f_t</tex>,
+
<tex>\xi_t = a_tf_t</tex>,
-
где динамика величины <tex>a_{l,t}</tex> характеризует тенденцию развития процесса;
+
где динамика величины <tex>a_t</tex> характеризует тенденцию развития процесса;
<tex>f_t</tex>, <tex>f_{t-1}</tex>,..., <tex>f_{t-l+1}</tex> — коэффициенты сезонности;
<tex>f_t</tex>, <tex>f_{t-1}</tex>,..., <tex>f_{t-l+1}</tex> — коэффициенты сезонности;
Строка 21: Строка 19:
<tex>x_t~=~\xi_t+\epsilon_t</tex>
<tex>x_t~=~\xi_t+\epsilon_t</tex>
-
<tex>\xi_t = a_{l,t}+g_t</tex>,
+
<tex>\xi_t = a_t+g_t</tex>,
-
где величина <tex>a_{l,t}</tex> описывает тенденцию развития процесса;
+
где величина <tex>a_t</tex> описывает тенденцию развития процесса;
<tex>g_t</tex>, <tex>g_{t-1}</tex>,..., <tex>g_{t-l+1}</tex> — аддитивные коэффициенты сезонности;
<tex>g_t</tex>, <tex>g_{t-1}</tex>,..., <tex>g_{t-l+1}</tex> — аддитивные коэффициенты сезонности;
<tex>l</tex> — количество фаз в полном сезонном цикле;
<tex>l</tex> — количество фаз в полном сезонном цикле;
 +
 +
<tex>\epsilon_t</tex> — неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием.
 +
 +
Адаптивная модель с мультипликативной сезонностью была предложена П. Р. Уинтерсом. Аддитивная модель рассмотрена Г. Тейлом и С. Вейджем. Уинтерс поставил задачу разработать модель для прогнозирования объемов сезонных продаж с использованием ЭВМ. Модель должна быть такой, чтобы: а) прогнозы рассчитывались на основе одних и тех же программ для большого количества продуктов; б) вычисления производились быстро и дешево; в) использовался минимальный объем памяти для информации; г)&nbsp;учитывались изменяющиеся условия.
 +
Поэтому целесообразно в прогностических моделях учитывать конкретный характер тенденции и сезонных колебаний. Это и сделал Уинтерс с помощью экспоненциальной схемы. Модель при этом становится сложнее, зато и точность прогнозов для большинства товаров существенно возрастает.
 +
Ниже приведен более простой вариант модели, который содержит только сезонный эффект.
 +
 +
== Прогнозирование с коэффициентами сезонности ==
 +
 +
Модель имеет вид:
 +
 +
<tex>a_t = \alpha_1~\frac{x_t}{f_{t-l}}+(1-\alpha_1)a_{t-1}</tex>, <tex>0<\alpha_1<1</tex>
 +
 +
<tex>f_t = \alpha_2~\frac{x_t}{a_t}+(1-\alpha_2)f_{t-l}</tex>, <tex>0<\alpha_2<1</tex>
 +
 +
Как видим, <tex>a_t</tex> является взвешенной суммой текущей оценки <tex>\frac{x_t}{f_{t-l}</tex>, полученной путем очищения от сезонных колебаний фактических данных <tex>x_t</tex> и предыдущей оценки <tex>a_{t-1}</tex>.
 +
В качестве коэффициента сезонности <tex>f_t</tex> берется его наиболее поздняя оценка, сделанная для аналогичной фазы цикла.
 +
Затем величина <tex>a_t</tex>, полученная по первому уравнению, используется для определения новой оценки коэффициента сезонности по второму уравнению.
 +
 +
 +
Величины <tex>a_t</tex> и <tex>f_t</tex> могут быть записаны через прошлые данные и начальные условия:
 +
 +
<tex>a_t = \alpha_1~\sum_{n=0}^t (1-\alpha_1)^n\frac{x_{t-n}}{f_{t-l-n}}+(1-\alpha_1)^{t+1}a_0</tex>
 +
 +
<tex>f_t = \alpha_2~\sum_{n=0}^J (1-\alpha_2)^n\frac{x_{t-nl}}{f_{t-nl}}+(1-\alpha_2)^{J+1}f_{i,0}</tex>,
 +
 +
где <tex>a_0</tex> — начальное значение <tex>a</tex>;
 +
 +
<tex>f_{i,0}</tex> — начальное значение <tex>f</tex> в соответствующей <tex>i</tex> фазе (месяце) цикла (года);
 +
 +
<tex>J</tex> — наибольшая целая часть <tex>\frac{t}{l}</tex>.
 +
 +
 +
== Литература ==
 +
# ''Лукашин Ю.П.'' Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов - М.&nbsp;Финансы и статистика, 2003 - стр. 50

Версия 14:28, 10 января 2009

В экономике многие явления характеризуются периодически повторяющимися сезонными эффектами. Соответственно временные ряды, их отражающие, содержат периодические сезонные колебания. Эти ряды и их колебания можно представить как генерируемые моделями двух основных типов: моделями с мультипликативными и с аддитивными коэффициентами сезонности.

Модели первого типа имеют вид:

x_t~=~\xi_t+\epsilon_t

\xi_t = a_tf_t,

где динамика величины a_t характеризует тенденцию развития процесса;

f_t, f_{t-1},..., f_{t-l+1} — коэффициенты сезонности;

l — количество фаз в полном сезонном цикле (если ряд представляет месячные наблюдения, то в экономике обычно l = 12, при квартальных данных l = 4 и т. п.);

\epsilon_t — неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием.

Модели второго типа записываются как:

x_t~=~\xi_t+\epsilon_t

\xi_t = a_t+g_t,

где величина a_t описывает тенденцию развития процесса;

g_t, g_{t-1},..., g_{t-l+1} — аддитивные коэффициенты сезонности;

l — количество фаз в полном сезонном цикле;

\epsilon_t — неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием.

Адаптивная модель с мультипликативной сезонностью была предложена П. Р. Уинтерсом. Аддитивная модель рассмотрена Г. Тейлом и С. Вейджем. Уинтерс поставил задачу разработать модель для прогнозирования объемов сезонных продаж с использованием ЭВМ. Модель должна быть такой, чтобы: а) прогнозы рассчитывались на основе одних и тех же программ для большого количества продуктов; б) вычисления производились быстро и дешево; в) использовался минимальный объем памяти для информации; г) учитывались изменяющиеся условия. Поэтому целесообразно в прогностических моделях учитывать конкретный характер тенденции и сезонных колебаний. Это и сделал Уинтерс с помощью экспоненциальной схемы. Модель при этом становится сложнее, зато и точность прогнозов для большинства товаров существенно возрастает. Ниже приведен более простой вариант модели, который содержит только сезонный эффект.

Прогнозирование с коэффициентами сезонности

Модель имеет вид:

a_t = \alpha_1~\frac{x_t}{f_{t-l}}+(1-\alpha_1)a_{t-1}, 0<\alpha_1<1

f_t = \alpha_2~\frac{x_t}{a_t}+(1-\alpha_2)f_{t-l}, 0<\alpha_2<1

Как видим, a_t является взвешенной суммой текущей оценки \frac{x_t}{f_{t-l}, полученной путем очищения от сезонных колебаний фактических данных x_t и предыдущей оценки a_{t-1}. В качестве коэффициента сезонности f_t берется его наиболее поздняя оценка, сделанная для аналогичной фазы цикла. Затем величина a_t, полученная по первому уравнению, используется для определения новой оценки коэффициента сезонности по второму уравнению.


Величины a_t и f_t могут быть записаны через прошлые данные и начальные условия:

a_t = \alpha_1~\sum_{n=0}^t (1-\alpha_1)^n\frac{x_{t-n}}{f_{t-l-n}}+(1-\alpha_1)^{t+1}a_0

f_t = \alpha_2~\sum_{n=0}^J (1-\alpha_2)^n\frac{x_{t-nl}}{f_{t-nl}}+(1-\alpha_2)^{J+1}f_{i,0},

где a_0 — начальное значение a;

f_{i,0} — начальное значение f в соответствующей i фазе (месяце) цикла (года);

J — наибольшая целая часть \frac{t}{l}.


Литература

  1. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов - М. Финансы и статистика, 2003 - стр. 50
Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%B5%D0%B7%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C»
Личные инструменты