Случайная величина

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Определение: уточнение)
(Определение)
Строка 1: Строка 1:
==Определение==
==Определение==
-
Пусть задано [[вероятностное пространство]] <tex>(\Omega,\mathcal{F},P)</tex>. ''Случайной величиной'', заданной на этом пространстве, называется числовая функция <tex>X:\Omega\to\mathbb{R}</tex>, которая ставит в соответствие каждому элементарному исходу <tex>\omega</tex> число <tex>X(\omega)</tex> - значение случайной величины на этом исходе. Данная функция должна быть <tex>\mathcal{F}|\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex>-измеримой (где <tex>\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex> - борелевская сигма-алгебра на прямой), т.е. для любого борелевского множества <tex>B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex> его полный прообраз при отображении <tex>X</tex> должен быть событием: <tex>X^{-1}(B)\in\mathcal{F}</tex>.
+
Пусть задано [[вероятностное пространство]] <tex>(\Omega,\mathcal{F},P)</tex>. ''Случайной величиной'', заданной на этом пространстве, называется числовая функция <tex>X:\Omega\to\mathbb{R}</tex>, которая ставит в соответствие каждому элементарному исходу <tex>\omega\in\Omega</tex> число <tex>X(\omega)</tex> - значение случайной величины на этом исходе. Данная функция должна быть <tex>\mathcal{F}|\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex>-измеримой (где <tex>\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex> - борелевская сигма-алгебра на прямой), т.е. для любого борелевского множества <tex>B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex> его полный прообраз при отображении <tex>X</tex> должен быть событием: <tex>X^{-1}(B)\in\mathcal{F}</tex>.
Случайная величина может быть интерпретирована как некоторое измерение, в результате которого при каждой реализации случайного опыта мы получаем некоторое число.
Случайная величина может быть интерпретирована как некоторое измерение, в результате которого при каждой реализации случайного опыта мы получаем некоторое число.

Версия 16:55, 2 ноября 2009

Определение

Пусть задано вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},P). Случайной величиной, заданной на этом пространстве, называется числовая функция X:\Omega\to\mathbb{R}, которая ставит в соответствие каждому элементарному исходу \omega\in\Omega число X(\omega) - значение случайной величины на этом исходе. Данная функция должна быть \mathcal{F}|\mathcal{B}(\mathbb{R})-измеримой (где \mathcal{B}(\mathbb{R}) - борелевская сигма-алгебра на прямой), т.е. для любого борелевского множества B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) его полный прообраз при отображении X должен быть событием: X^{-1}(B)\in\mathcal{F}.

Случайная величина может быть интерпретирована как некоторое измерение, в результате которого при каждой реализации случайного опыта мы получаем некоторое число.

Случайная величина X индуцирует (порождает) новое вероятностное пространство (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),P_X) с мерой P_X(B)=P(X^{-1}(B)), которая называется распределением вероятностей X. При исследовании одной только случайной величины иногда сразу задают это пространство и не вводят саму величину как отображение (хотя это всегда можно сделать, взяв тождественное отображение числовой прямой на себя). Вероятность P_X(B) также обозначают P(X\in B).

В практических приложениях наиболее часто используются два типа случайных величин: дискретные и абсолютно непрерывные, хотя, разумеется, существуют случайные величины, не относящиеся ни к одному из этих классов.

Дискретные случайные величины

Абсолютно непрерывные случайные величины

Личные инструменты