Случайная величина
Материал из MachineLearning.
(→Определение) |
|||
| Строка 2: | Строка 2: | ||
Пусть задано [[вероятностное пространство]] <tex>(\Omega,\mathcal{F},P)</tex>. ''Случайной величиной'', заданной на этом пространстве, называется числовая функция <tex>X:\Omega\to\mathbb{R}</tex>, которая ставит в соответствие каждому элементарному исходу <tex>\omega\in\Omega</tex> число <tex>X(\omega)</tex> - значение случайной величины на этом исходе. Данная функция должна быть <tex>\mathcal{F}|\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex>-измеримой (где <tex>\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex> - борелевская сигма-алгебра на прямой), т.е. для любого борелевского множества <tex>B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex> его полный прообраз при отображении <tex>X</tex> должен быть событием: <tex>X^{-1}(B)\in\mathcal{F}</tex>. | Пусть задано [[вероятностное пространство]] <tex>(\Omega,\mathcal{F},P)</tex>. ''Случайной величиной'', заданной на этом пространстве, называется числовая функция <tex>X:\Omega\to\mathbb{R}</tex>, которая ставит в соответствие каждому элементарному исходу <tex>\omega\in\Omega</tex> число <tex>X(\omega)</tex> - значение случайной величины на этом исходе. Данная функция должна быть <tex>\mathcal{F}|\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex>-измеримой (где <tex>\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex> - борелевская сигма-алгебра на прямой), т.е. для любого борелевского множества <tex>B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex> его полный прообраз при отображении <tex>X</tex> должен быть событием: <tex>X^{-1}(B)\in\mathcal{F}</tex>. | ||
| + | |||
| + | ==Свойства== | ||
Случайная величина может быть интерпретирована как некоторое измерение, в результате которого при каждой реализации случайного опыта мы получаем некоторое число. | Случайная величина может быть интерпретирована как некоторое измерение, в результате которого при каждой реализации случайного опыта мы получаем некоторое число. | ||
Версия 16:57, 2 ноября 2009
Содержание |
Определение
Пусть задано вероятностное пространство . Случайной величиной, заданной на этом пространстве, называется числовая функция
, которая ставит в соответствие каждому элементарному исходу
число
- значение случайной величины на этом исходе. Данная функция должна быть
-измеримой (где
- борелевская сигма-алгебра на прямой), т.е. для любого борелевского множества
его полный прообраз при отображении
должен быть событием:
.
Свойства
Случайная величина может быть интерпретирована как некоторое измерение, в результате которого при каждой реализации случайного опыта мы получаем некоторое число.
Случайная величина индуцирует (порождает) новое вероятностное пространство
с мерой
,
которая называется распределением вероятностей
. При исследовании одной только случайной величины иногда сразу задают это пространство и не вводят саму величину как отображение (хотя это всегда можно сделать, взяв тождественное отображение числовой прямой на себя). Вероятность
также обозначают
.
В практических приложениях наиболее часто используются два типа случайных величин: дискретные и абсолютно непрерывные, хотя, разумеется, существуют случайные величины, не относящиеся ни к одному из этих классов.
