Случайная величина

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Определение

Пусть задано вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},P). Случайной величиной, заданной на этом пространстве, называется числовая функция X:\Omega\to\mathbb{R}, которая ставит в соответствие каждому элементарному исходу \omega\in\Omega число X(\omega) - значение случайной величины на этом исходе. Данная функция должна быть \mathcal{F}|\mathcal{B}(\mathbb{R})-измеримой (где \mathcal{B}(\mathbb{R}) - борелевская сигма-алгебра на прямой), т.е. для любого борелевского множества B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) его полный прообраз при отображении X должен быть событием: X^{-1}(B)\in\mathcal{F}.

Случайная величина может быть интерпретирована как некоторое измерение, в результате которого при каждой реализации случайного опыта мы получаем некоторое число.

Случайная величина X индуцирует (порождает) новое вероятностное пространство (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),P_X) с мерой P_X(B)=P(X^{-1}(B)), которая называется распределением вероятностей X. При исследовании одной только случайной величины иногда сразу задают это пространство и не вводят саму величину как отображение (хотя это всегда можно сделать, взяв тождественное отображение числовой прямой на себя). Вероятность P_X(B) также обозначают P(X\in B).

В практических приложениях наиболее часто используются два типа случайных величин: дискретные и абсолютно непрерывные, хотя, разумеется, существуют случайные величины, не относящиеся ни к одному из этих классов.

Дискретные случайные величины

Абсолютно непрерывные случайные величины

Личные инструменты