Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)/2014, ФУПМ/1

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Ниже под обозначением X^n, \;\; X_i \sim p\cdot N(\mu,\sigma^2)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-a,b\right] понимается выборка объёма n из смеси нормального N(\mu,\sigma^2) и равномерного U\left[-a,b\right] распределений с весами p и 1-p соответственно (при генерации каждой выборки используется случайный датчик — если его значение не превосходит p, то добавляем в выборку элемент, взятый из нормального распределения, иначе — элемент, взятый из равномерного).

Содержание

Анализ поведения схожих критериев

Требуется исследовать поведение указанной пары статистических критериев, подходящих для решения одной и той же задачи, сравнить мощность и достигаемые уровни значимости и сделать выводы о границах применимости критериев. Необходимо для каждого из критериев построить графики зависимости достигаемых уровней значимости и оценок мощностей от параметров, и показать, в каких областях изменения параметров предпочтительнее использовать тот или иной критерий. Для получения более гладких графиков рекомендуется применять оба критерия к одним и тем же выборкам, а не генерировать их отдельно для каждого критерия.

  • X^n, \;\; X_i\sim Ber(p);
    H_0\,:\, p=\frac{1}{2},
    H_1\,:\, p\neq\frac{1}{2};
    p=0.01\,:\,0.01\,:\,0.99, \;\; n=5\,:\,1\,:\,50.
сравнить z-критерий и точный критерий для доли.
сравнить критерии, основанные на доверительных интервалах Вальда и Уилсона (нулевая гипотеза отвергается на уровне значимости 5%, если 95% доверительный интервал для параметра не содержит \frac{1}{2}).
  • X^n, \;\; X_i\sim N(\mu,\sigma);
    H_0\,: среднее значение X равно нулю,
    H_1\,: среднее значение X не равно нулю;
    \mu=-2\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma=1, \;\; n=5\,:\,1\,:\,50.
сравнить одновыборочные t- и z-критерии.
сравнить одновыборочный t-критерий и критерий знаковых рангов Уилкоксона.
сравнить одновыборочный перестановочный критерий и критерий знаковых рангов Уилкоксона.
  • X_1^n, \;\; X_{1i} \sim N(\mu_1, \sigma_1^2),\;\;X_2^n, \;\; X_{2i} \sim N(\mu_2, \sigma_2^2);
    H_0\,:\, \mathbb{D}X_{1i} = \mathbb{D}X_{2i},
    H_1\,:\, \mathbb{D}X_{1i} \neq \mathbb{D}X_{2i};
    \mu_1=0, \;\; \sigma_1=1.
\mu_2=0, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=5\,:\,1\,:\,50. Сравнить критерий Фишера и WM-критерий.
\mu_2=0\,:\,0.05\,:\,5, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=50. Сравнить WM-критерий и критерий Зигеля-Тьюки.
\mu_2=0\,:\,0.05\,:\,5, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=20. Сравнить критерий Фишера и критерий Зигеля-Тьюки.
  • X^n, \;\; X_i \sim p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-a,a\right];
     H_0\,:\; X_i \sim N,
    H_1\,:\; H_0 неверна;
    n=10\,:\,5\,:\,100.
a=1, \;\; p=0\,:\,0.02\,:\,1. Сравнить критерий Шапиро-Уилка и критерий Колмогорова-Смирнова.
a=2, \;\; p=0\,:\,0.02\,:\,1. Сравнить критерий Смирнова-Крамера-фон Мизеса и критерий Жарка-Бера.
a=0.5\,:\,0.1\,:\,5, \;\; p=0.25. Сравнить критерий Колмогорова-Смирнова и критерий хи-квадрат.

Анализ устойчивости критериев к нарушению предположений

Требуется исследовать поведение указанного критерия в условиях нарушения лежащих в его основе предположений. Оценить мощность и достигаемый уровень значимости критерия при различных значениях параметров, сделать выводы об устойчивости.

  • Одновыборочный t-критерий, нарушение предположения о нормальности.
    X^n, \;\; X_i \sim p\cdot N(\mu,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-a+\mu,a+\mu\right];
    H_0\,:\; \mathbb{E}X_i=0
    H_1\,:\; \mathbb{E}X_i\neq0.
Воронов: \mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0.8, \;\; a=1, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.
\mu=1, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=2, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.
\mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=1, \;\; n=150.
\mu=0.5, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=0.1\,:\,0.1\,:\,5, \;\; n=100.
  • Критерий Фишера для проверки равенства дисперсий, нарушение предположения о нормальности.
    X_1^n, \;\; X_{1i} \sim p_1\cdot N(0,\sigma_1^2)+ \left(1-p_1\right)\cdot U\left[-a,a\right],  \;\; X_2^n,\;\; X_{2i} \sim p_2\cdot N(0,\sigma_2^2)+ \left(1-p_2\right)\cdot U\left[-a,a\right];
    H_0\,:\, \mathbb{D}X_{1i} = \mathbb{D}X_{2i},
    H_1\,:\, \mathbb{D}X_{1i} \neq \mathbb{D}X_{2i};
    \sigma_1=2, \;\; \sigma_2=0.1\,:\,0.05\,:\,4.
p_1=p_2=0.8, \;\; a=2, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.
p_1=p_2=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=3, \;\; n=100.
\mu=0\,:\,0.02\,:\,2, \;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n=50.
\mu=2, \;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.
  • Двухвыборочный t-критерий, нарушение предположения о равенстве дисперсий.
    X_1^{n_1}, \;\; X_{1i} \sim N(0,1), \;\; X_2^{n_2}, \;\; X_{2i} \sim N(\mu,\sigma^2);
    H_0\,:\; \mathbb{E}X_{1i} = \mathbb{E}X_{2i},
    H_1\,:\; \mathbb{E}X_{1i} \neq \mathbb{E}X_{2i}.
\mu=0\,:\,0.02\,:\,2, \;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n_1=n_2=50.
\mu=1, \;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n_1=15\,:\,5\,:\,200, \;\; n_2 = 50.
\mu=0\,:\,0.02\,:\,2, \;\; \sigma=2, \;\; n_1=15\,:\,5\,:\,200, \;\; n_2 = 50.

Анализ двухэтапных процедур проверки гипотез

Требуется построить описанную двухэтапную процедуру проверки гипотез и сравнить вероятности совершения ей ошибок первого и второго рода при уровне значимости \alpha с аналогичными показателями каждого из критериев второго этапа. Сделать выводы о корректности применения двухэтапной процедуры.

  • Одновыборочная гипотеза о среднем с предварительной проверкой нормальности. Если нормальность отвергается на уровне значимости \alpha, используется критерий знаковых рангов, иначе — t-критерий.
    X^n, \;\; X_i \sim p\cdot N(\mu,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-a+\mu,a+\mu\right];
    H_0\,:\; \mathbb{E}X_i=0
    H_1\,:\; \mathbb{E}X_i\neq0.
\alpha=0.05, \;\; \mu=0\,:\,0.05\,:\,2, \;\; p=0.8,              \;\; a=1, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200. Нормальность проверяется критерием Шапиро-Уилка.
\alpha=0.05, \;\; \mu=0\,:\,0.05\,:\,2, \;\; p=0\,:\,0.02\,:\,1, \;\; a=2,                \;\; n=50. Нормальность проверяется критерием Смирнова-Крамера-фон Мизеса.
\alpha=0.1, \;\; \mu=0\,:\,0.05\,:\,2, \;\; p=0.8,              \;\; a=0\,:\,0.05\,:\,3, \;\; n=50. Нормальность проверяется критерием Лиллиефорса.
  • Двухвыборочная гипотеза о равенстве средних с предварительной проверкой нормальности. Если нормальность хотя бы одной из выборок отвергается на уровне значимости \alpha, используется критерий Уилкоксона-Манна-Уитни, иначе — критерий Аспина-Уэлша.
    X_1^{n_1}, \;\; X_{1i} \sim p_1\cdot N(0,1) + \left(1-p_1\right)\cdot U\left[-a,a\right] , \;\; X_2^{n_2}, \;\; X_{2i} \sim p_2\cdot N(\mu,1) + \left(1-p_2\right)\cdot U\left[-a+\mu,a+\mu\right];
    H_0\,:\; \mathbb{E}X_{1i} = \mathbb{E}X_{2i},
    H_1\,:\; \mathbb{E}X_{1i} \neq \mathbb{E}X_{2i};
    \mu=0\,:\,0.05\,:\,2.
\alpha=0.05, \;\; p_1=0.9,     \;\; n_1=20,                    \;\; a=2, \;\; p_2 = 0.8, \;\; n_2 = 15\,:\,5\,:\,200. Нормальность проверяется критерием Лиллиефорса.
\alpha=0.01, \;\; p_1=p_2=0.8, \;\; n_1=n_2=15 \,:\,5\,:\,200, \;\; a=1. Нормальность проверяется критерием Смирнова-Крамера-фон Мизеса.
\alpha=0.05, \;\; p_1=0.8,     \;\; n_1=n_2=50,                \;\; a=1, \;\; p_2 = 0\,:\,0.02\,:\,1. Нормальность проверяется критерием Шапиро-Уилка.
\alpha=0.1,  \;\; p_1=p_2=0.8, \;\; n_1=n_2=50,                \;\; a=0\,:\,0.05\,:\,3. Нормальность проверяется критерием хи-квадрат.
  • Двухвыборочная гипотеза о равенстве средних с предварительной проверкой равенства дисперсий. Равенство дисперсий проверяется критерием Фишера, если оно отвергается на уровне значимости \alpha, используется критерий Аспина-Уэлша, иначе — t-критерий для неизвестных равных дисперсий.
    X_1^{n_1}, \;\; X_{1i} \sim N(0,1), \;\; X_2^{n_2}, \;\; X_{2i} \sim N(\mu,\sigma^2);
    H_0\,:\; \mathbb{E}X_{1i} = \mathbb{E}X_{2i},
    H_1\,:\; \mathbb{E}X_{1i} \neq \mathbb{E}X_{2i}.
\alpha=0.05, \;\; \mu=0\,:\,0.05\,:\,2, \;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n_1=n_2=50.
\alpha=0.05, \;\; \mu=1, \;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n_1=15\,:\,5\,:\,200, \;\; n_2 = 50.
\alpha=0.01, \;\; \mu=0\,:\,0.05\,:\,2, \;\; \sigma=1.5, \;\; n_1=15\,:\,5\,:\,200, \;\; n_2 = 100.

Ссылки

Личные инструменты