Тренд

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Новая: '''Эта статья в разработке''')
Строка 1: Строка 1:
-
'''Эта статья в разработке'''
+
<!-- {{TOCright}} -->
 +
Для описания [[временной ряд|временных рядов]] используются математические модели. Представим, что временной ряд <tex>x_t</tex>, генерируемый некоторой моделью, можно представить в виде двух компонент:
 +
 
 +
<tex>x_t=\xi_t+\epsilon_t</tex>,
 +
 
 +
где величина <tex>\epsilon_t</tex> - шум, генерируется случайным неавтокоррелированным процессом с нулевым математическим ожиданием и конечной (не обязательно постоянной) дисперсией, а величина <tex>\xi_t</tex> может быть cгенерирована либо детерминированной функцией, либо случайным процессом, либо какой-нибудь их комбинацией. Величины <tex>\xi_t</tex> и <tex>\epsilon_t</tex> различаются характером воздействия на значения последующих членов ряда. Переменная <tex>\epsilon_t</tex> влияет только на значение синхронного ей члена ряда, в то время как величина <tex>\xi_t</tex> в известной степени определяет значение нескольких или всех последующих членов ряда. Через величину <tex>\xi_t</tex> осуществляется взаимодействие членов ряда; таким образом, в ней содержится информация, необходимая для получения прогнозов.
 +
Назовем величину <tex>\xi_t</tex> уровнем ряда в момент <tex>t</tex>, а закон эволюции уровня во времени — '''трендом'''. Таким образом, тренд может быть выражен как детерминированной, так и случайной функциями, либо их комбинацией. Стохастические тренды имеют, например, ряды со случайным уровнем или случайным скачкообразным характером роста.
 +
 
 +
Компоненты временного ряда <tex>\xi_t</tex> и <tex>\epsilon_t</tex> ненаблюдаемы. Они являются теоретическими величинами. Их выделение и составляет предмет анализа временного ряда в задаче прогнозирования. Оценку будущих членов ряда обычно делают по прогнозной модели. Прогнозная модель —- это модель, аппроксимирующая тренд. Прогнозы — это оценки будущих уровней ряда, а последовательность прогнозов для различных периодов упреждения <tex>\tau</tex> = 1, 2, .... k составляет оценку тренда.
 +
 
 +
При построении прогнозной модели выдвигается гипотеза о динамике величины <tex>\xi_t</tex>, т. е. о характере тренда. Однако в связи с тем, что уверенность в гипотезе всегда относительна, рассматриваемые нами модели наделяются адаптивными свойствами, способностью к корректировке исходной гипотезы или даже к замене ее другой, более адекватно (с точки зрения точности прогнозов) отражающей поведение реального ряда.
 +
 
 +
== Примеры ==
 +
 
 +
Пример детерминированного тренда:
 +
 
 +
<tex>\xi_t = a_1 + a_2t + a_3t^2</tex>
 +
 
 +
Пример случайного тренда:
 +
 
 +
<tex>\xi_t = \xi_{t-1} + u_t = \xi_0 + \sum_{i=1}^{t} u_i</tex>
 +
 
 +
где <tex>\xi_t</tex> — некоторое начальное значение;
 +
 
 +
<tex>u_t</tex> — случайная переменная.
 +
 
 +
Пример тренда смешанного типа:
 +
 
 +
<tex>\xi_t = a_1 + a_2t + u_t + qu_{t-1} + b\sin(\omega t)</tex>,
 +
 
 +
где <tex>a_1,~ a_2,~ q,~ b,~ \omega</tex> - постоянные коэффициенты, <tex>u_t</tex> - случайная переменная.
 +
 
 +
== Литература ==
 +
# ''Лукашин Ю.П.'' Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов - М.&nbsp;Финансы и статистика, 2003
 +
 
 +
[[Категория:Анализ временных рядов|Т]]

Версия 18:44, 10 января 2009

Для описания временных рядов используются математические модели. Представим, что временной ряд x_t, генерируемый некоторой моделью, можно представить в виде двух компонент:

x_t=\xi_t+\epsilon_t,

где величина \epsilon_t - шум, генерируется случайным неавтокоррелированным процессом с нулевым математическим ожиданием и конечной (не обязательно постоянной) дисперсией, а величина \xi_t может быть cгенерирована либо детерминированной функцией, либо случайным процессом, либо какой-нибудь их комбинацией. Величины \xi_t и \epsilon_t различаются характером воздействия на значения последующих членов ряда. Переменная \epsilon_t влияет только на значение синхронного ей члена ряда, в то время как величина \xi_t в известной степени определяет значение нескольких или всех последующих членов ряда. Через величину \xi_t осуществляется взаимодействие членов ряда; таким образом, в ней содержится информация, необходимая для получения прогнозов. Назовем величину \xi_t уровнем ряда в момент t, а закон эволюции уровня во времени — трендом. Таким образом, тренд может быть выражен как детерминированной, так и случайной функциями, либо их комбинацией. Стохастические тренды имеют, например, ряды со случайным уровнем или случайным скачкообразным характером роста.

Компоненты временного ряда \xi_t и \epsilon_t ненаблюдаемы. Они являются теоретическими величинами. Их выделение и составляет предмет анализа временного ряда в задаче прогнозирования. Оценку будущих членов ряда обычно делают по прогнозной модели. Прогнозная модель —- это модель, аппроксимирующая тренд. Прогнозы — это оценки будущих уровней ряда, а последовательность прогнозов для различных периодов упреждения \tau = 1, 2, .... k составляет оценку тренда.

При построении прогнозной модели выдвигается гипотеза о динамике величины \xi_t, т. е. о характере тренда. Однако в связи с тем, что уверенность в гипотезе всегда относительна, рассматриваемые нами модели наделяются адаптивными свойствами, способностью к корректировке исходной гипотезы или даже к замене ее другой, более адекватно (с точки зрения точности прогнозов) отражающей поведение реального ряда.

Примеры

Пример детерминированного тренда:

\xi_t = a_1 + a_2t + a_3t^2

Пример случайного тренда:

\xi_t = \xi_{t-1} + u_t = \xi_0 + \sum_{i=1}^{t} u_i

где \xi_t — некоторое начальное значение;

u_t — случайная переменная.

Пример тренда смешанного типа:

\xi_t = a_1 + a_2t + u_t + qu_{t-1} + b\sin(\omega t),

где a_1,~ a_2,~ q,~ b,~ \omega - постоянные коэффициенты, u_t - случайная переменная.

Литература

  1. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов - М. Финансы и статистика, 2003
Личные инструменты