Экстраполяция Ричардсона, оценки по Рунге и Эйткену, вычисление интегралов с заданной точностью
Материал из MachineLearning.
(орфография, категория) |
(→Общие сведения) |
||
Строка 59: | Строка 59: | ||
:<tex>I_{i+1}(h) = I_i(\frac{h}r) + \frac{I_i(\frac{h}r) - I_i(h)}{r^{\alpha _1} - 1} </tex> | :<tex>I_{i+1}(h) = I_i(\frac{h}r) + \frac{I_i(\frac{h}r) - I_i(h)}{r^{\alpha _1} - 1} </tex> | ||
- | Заметим, что <tex>r</tex> - величина, на которую мы делим размер шага при каждом новом вычислении <tex>I</tex>. Разумно положить <tex> | + | Заметим, что <tex>r</tex> - величина, на которую мы делим размер шага при каждом новом вычислении <tex>I</tex>. Разумно положить <tex>r = 2</tex>, т.к. большие значения <tex>r</tex> могут вызвать резкое увеличение количества вычислений. |
Для наглядности представим процесс экстраполирования следующей таблицей: | Для наглядности представим процесс экстраполирования следующей таблицей: |
Версия 20:09, 19 октября 2008
Содержание |
Введение
Постановка математической задачи
Задача численного интегрирования состоит в приближенном нахождении значения интеграла
где - заданная и интегрируемая на функция. В качестве приближенного значения рассматривается число
где - числовые коэффициенты и - точки отрезка , . Приближенное равенство
называется квадратурной формулой, а сумма вида (2) - квадратурной суммой. Точки называются узлами квадратурной формулы. Разность
называется погрешностью квадратурной формулы. Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора коэффициентов.
Изложение метода
Общие сведения
Предположим, что для вычисления интеграла (1) отрезок разбит на равных отрезков длины и на каждом частичном отрезке применяется одна и та же квадратурная формула. Тогда исходный интеграл заменяется некоторой квадратурной суммой , причём возникающая погрешность зависит от шага сетки . Для некоторых квадратурных формул удаётся получить разложение погрешности по степеням . Предположим, что для данной квадратурной суммы существует разложение:
- ,
где и коэффициенты не зависят от . При этом величины предполагаются известными. Теперь предположим:
Чтобы избавиться от степени , составляющей ошибку (ибо среди всех слагаемых, составляющих ошибку, слагаемое при является наибольшим), вычислим величину . Имеем:
Отсюда
то есть имеем более точное приближение к интегралу .
Таким образом, рекуррентную формулу можно записать в виде:
Заметим, что - величина, на которую мы делим размер шага при каждом новом вычислении . Разумно положить , т.к. большие значения могут вызвать резкое увеличение количества вычислений.
Для наглядности представим процесс экстраполирования следующей таблицей: