Экстраполяция Ричардсона, оценки по Рунге и Эйткену, вычисление интегралов с заданной точностью

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(→Общие сведения)
(→Числовой пример)
Строка 90: Строка 90:
== Числовой пример ==
== Числовой пример ==
 +
 +
Найдем с помощью квадратурной формулы трапеций приближенное значение интеграла, применив экстраполяцию Ричардсона (данный метод называется <i>методом Ромберга</i>):
 +
 +
:<tex>\int^{5}_{1} \ln x\, dx = x \ln x - x |_1^{5} = 5\ln 5 - 4</tex>
 +
 +
[[Изображение:Result.png|thumb|300px]]
 +
В нижеследующей таблице представлены результаты работы программы:
 +
{|class="standard"
 +
!r
 +
!Исходная формула
 +
!1 раз
 +
!3 раза
 +
|-
 +
|2
 +
|1.609438
 +
|2.925492
 +
|3.92582
 +
|-
 +
|4
 +
|2.256648
 +
|3.506035
 +
|3.987405
 +
|-
 +
|8
 +
|3.278646
 +
|3.778845
 +
|4.017368
 +
|-
 +
|16
 +
|3.653497
 +
|3.913012
 +
|4.032286
 +
|-
 +
|32
 +
|3.848134
 +
|3.980123
 +
|4.039738
 +
|-
 +
|64
 +
|3.947125
 +
|4.013659
 +
|4.043464
 +
|-
 +
|128
 +
|3.997025
 +
|4.030424
 +
|4.045327
 +
|-
 +
|256
 +
|4.022075
 +
|4.03880706
 +
|
 +
|-
 +
|512
 +
|4.034624
 +
|4.042998
 +
|
 +
|-
 +
|1024
 +
|4.040904
 +
|
 +
|
 +
|}
 +
 +
Здесь <tex>r</tex> - число отрезков, на которые разбивается сегмент <tex>[1, 5]</tex>.
 +
 +
На иллюстрации черная сплошная линия - вычисление значения интеграла по исходной формуле, зеленая пунктирная - по экстраполированной 1 раз формуле, красная пунктирная - по экстраполированной 3 раза формуле.
 +
 +
Как мы видим, разница между экстраполированными и неэкстраполированными результатами значительна.
== Рекомендации программисту ==
== Рекомендации программисту ==

Версия 22:18, 19 октября 2008

Содержание

Введение

Постановка математической задачи

Задача численного интегрирования состоит в приближенном нахождении значения интеграла

( 1)
I = \int\limits_a^b f(x)\,dx,

где f(x) - заданная и интегрируемая на [a, b] функция. В качестве приближенного значения рассматривается число

( 2)
I_n=\sum_{i=0}^n c_k f(x_k),

где c_k - числовые коэффициенты и x_k - точки отрезка [a,b], k = 0, 1, \ldots, n . Приближенное равенство

\int\limits_a^b f(x)\,dx=\sum_{k=0}^n c_k f(x_k)

называется квадратурной формулой, а сумма вида (2) - квадратурной суммой. Точки x_i называются узлами квадратурной формулы. Разность

\Psi _n = \int\limits_a^b f(x)\,dx-\sum_{k=0}^n c_k f(x_k)

называется погрешностью квадратурной формулы. Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора коэффициентов.

Изложение метода

Общие сведения

Предположим, что для вычисления интеграла (1) отрезок [a, b] разбит на N равных отрезков длины h = \frac{b-a}N и на каждом частичном отрезке применяется одна и та же квадратурная формула. Тогда исходный интеграл I заменяется некоторой квадратурной суммой I_h, причём возникающая погрешность зависит от шага сетки h. Для некоторых квадратурных формул удаётся получить разложение погрешности I_h - I по степеням h. Предположим, что для данной квадратурной суммы I_h существует разложение:

( 3)
I_h = I_0 + a_1 h^{\alpha _1} + a_2 h^{\alpha _2} + \ldots + a_m h^{\alpha _m} + O(h^{\alpha _{m+1}}),

где 0 < \alpha _1 < \alpha _2 < \ldots < \alpha _m < \alpha _{m+1} и коэффициенты \{ a_i \} \subset \mathbb{R} не зависят от h. При этом величины \{ \alpha _i \} \subset \mathbb{R} предполагаются известными. Теперь предположим:

I(\frac{h}{r}) = I_0 + a_1\,\frac{h^{\alpha _1}}{r^{\alpha 1}} + a_2\,\frac{h^{\alpha _2}}{r^{\alpha 2}} + \ldots

Чтобы избавиться от степени h^{\alpha _1}, составляющей ошибку (ибо среди всех слагаемых, составляющих ошибку, слагаемое при h^{\alpha _1} является наибольшим), вычислим величину r^{\alpha _1}\,I(\frac{h}r) - I(h). Имеем:

r^{\alpha _1}\,I(\frac{h}{r}) - I(h) = r^{\alpha _1}\,I_0 - I_0 + a_1 h^{\alpha _1} - a_1 h^{\alpha _1} + a_2\,\frac{h^{\alpha _2}}{r^{\alpha _2 - \alpha _1}} - a_2 h^{\alpha _2} + \ldots

Отсюда

I_1(h) = \frac{r^{\alpha _1}I(\frac{h}r) - I(h)}{r^{\alpha _1} - 1} = I_0 + a_2\,\frac{r^{\alpha _1 - \alpha _2} - 1}{r^{\alpha _1} - 1}\,h^{\alpha _2} + \ldots

то есть имеем более точное приближение к интегралу I.

Таким образом, рекуррентную формулу можно записать в виде:

I_{i+1}(h) = I_i(\frac{h}r) + \frac{I_i(\frac{h}r) - I_i(h)}{r^{\alpha _1} - 1}

Заметим, что r - величина, на которую мы делим размер шага при каждом новом вычислении I. Разумно положить r = 2, т.к. большие значения r могут вызвать резкое увеличение количества вычислений.

Для наглядности представим процесс экстраполирования следующей таблицей:


\line(1, 0){200}

I_0^{0}(h)
I_0^{1}(\frac{h}r) I_1^{0}(h)
I_0^{2}(\frac{h}{r^2}) I_1^{1}(\frac{h}r) I_2^{0}(h)
\vdots \vdots \vdots \ddots

\line(1,0){200}

Анализ метода

Числовой пример

Найдем с помощью квадратурной формулы трапеций приближенное значение интеграла, применив экстраполяцию Ричардсона (данный метод называется методом Ромберга):

\int^{5}_{1} \ln x\, dx = x \ln x - x |_1^{5} = 5\ln 5 - 4

В нижеследующей таблице представлены результаты работы программы:

r Исходная формула 1 раз 3 раза
2 1.609438 2.925492 3.92582
4 2.256648 3.506035 3.987405
8 3.278646 3.778845 4.017368
16 3.653497 3.913012 4.032286
32 3.848134 3.980123 4.039738
64 3.947125 4.013659 4.043464
128 3.997025 4.030424 4.045327
256 4.022075 4.03880706
512 4.034624 4.042998
1024 4.040904

Здесь r - число отрезков, на которые разбивается сегмент [1, 5].

На иллюстрации черная сплошная линия - вычисление значения интеграла по исходной формуле, зеленая пунктирная - по экстраполированной 1 раз формуле, красная пунктирная - по экстраполированной 3 раза формуле.

Как мы видим, разница между экстраполированными и неэкстраполированными результатами значительна.

Рекомендации программисту

Заключение

Список литературы

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%AD%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%A0%D0%B8%D1%87%D0%B0%D1%80%D0%B4%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0%2C_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8_%D0%BF%D0%BE_%D0%A0%D1%83%D0%BD%D0%B3%D0%B5_%D0%B8_%D0%AD%D0%B9%D1%82%D0%BA%D0%B5%D0%BD%D1%83%2C_%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%B2_%D1%81_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%D1%8E»
Личные инструменты