WM-критерий
Материал из MachineLearning.
(→Описание критерия) |
(→Описание критерия) |
||
| Строка 18: | Строка 18: | ||
==Описание критерия== | ==Описание критерия== | ||
| - | Пусть имеются две выборки: | + | Пусть имеются две простые независимые выборки: |
::<tex>X_1^{n_1} = (X_{11},\ldots,X_{1n_1}),\; X_{1i} \sim F(t)</tex> | ::<tex>X_1^{n_1} = (X_{11},\ldots,X_{1n_1}),\; X_{1i} \sim F(t)</tex> | ||
::<tex>X_2^{n_2} = (X_{21},\ldots,X_{2n_2}),\; X_{2i} \sim G(t) = F(\frac{t-\mu}{\sigma}) </tex>. | ::<tex>X_2^{n_2} = (X_{21},\ldots,X_{2n_2}),\; X_{2i} \sim G(t) = F(\frac{t-\mu}{\sigma}) </tex>. | ||
| Строка 30: | Строка 30: | ||
::H<sub>1</sub>: <tex>\sigma <\neq> 1</tex> | ::H<sub>1</sub>: <tex>\sigma <\neq> 1</tex> | ||
| + | '''Подсчет статистики критерия:''' | ||
Генерируем вспомогательные выборки | Генерируем вспомогательные выборки | ||
::<tex>D_1^{N_1} = (|X_{1i} - X_{1j}|), \quad N_1 = \lfloor\frac{n_1}{2}\rfloor</tex> | ::<tex>D_1^{N_1} = (|X_{1i} - X_{1j}|), \quad N_1 = \lfloor\frac{n_1}{2}\rfloor</tex> | ||
| Строка 36: | Строка 37: | ||
Алгоритм порождения выборки <tex>D_1</tex>: из <tex>X_1</tex> берутся наугад без возвращения пары наблюдений <tex>(X_{1i}, X_{1j})</tex>, в выборку <tex>D_2</tex> добавляется <tex>|X_{1i}-X_{1j}|</tex>, процесс продолжается до тех пор, пока в <tex>X_1</tex> не останется наблюдений, либо останется одно наблюдение. Выборка <tex>D_2</tex> порождается аналогично. | Алгоритм порождения выборки <tex>D_1</tex>: из <tex>X_1</tex> берутся наугад без возвращения пары наблюдений <tex>(X_{1i}, X_{1j})</tex>, в выборку <tex>D_2</tex> добавляется <tex>|X_{1i}-X_{1j}|</tex>, процесс продолжается до тех пор, пока в <tex>X_1</tex> не останется наблюдений, либо останется одно наблюдение. Выборка <tex>D_2</tex> порождается аналогично. | ||
| - | + | В предположении H<sub>0</sub>, статистика <tex>U(D_1^{N_1}, D_2^{N_2})</tex> [[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерия Мана-Уитни]] имеет табличное распределение. | |
Критерий может быть расширен на случай k выборок за счет использования [[Критерий_Краскела-Уоллиса|критерия Краскела-Уоллиса]] (обобщение U-критерия). | Критерий может быть расширен на случай k выборок за счет использования [[Критерий_Краскела-Уоллиса|критерия Краскела-Уоллиса]] (обобщение U-критерия). | ||
Версия 17:15, 18 февраля 2014
WM-критерий — непараметрический ранговый критерий для проверки принадлежности двух независимых выборок к общей генеральной совокупности с одинаковыми характеристиками рассеяния. В отличие от критерия Зигеля-Тьюки не требует предположения о равенстве средних в выборках.
Коротко, идея метода следующая. По двум выборкам подсчитываются модули разностей значений наблюдений, взятых наугад без возвращения. К получившимся выборкам модулей разностей применяется U-критерий Манна-Уитни о равенстве медиан.
Содержание |
Примеры задач
Менеджер по кейтерингу хочет проверить, одинакова ли дисперсия количества соуса в упаковке при расфасовке с помощью двух диспенсеров. Каждым из диспенсеров он наполнил 10 упаковок. Возможно, диспенсеры откалиброваны по-разному (нет требования равенства медиан).
- H0 : дисперсия количества соуса в упаковке не отличается для двух диспенсеров.
- H1 : дисперсия количества соуса в упаковке для двух диспенсеров отличается.
Другой пример: предположим, существует два альтернативных агротехнических метода обработки полей. Для каждого такого метода составим выборку из обработанных им полей. Значение в выборке равно урожайности данного поля. Требуется найти наиболее эффективный метод.
Описание критерия
Пусть имеются две простые независимые выборки:
.
Параметр местоположения неизвестен, предположения о симметрии распределения
не делается.
Нулевая гипотеза:
- H0:
(Выборки имеют одинаковый разбросс)
- H0:
Против альтернатив:
- H1:
- H1:
Подсчет статистики критерия: Генерируем вспомогательные выборки
Алгоритм порождения выборки : из
берутся наугад без возвращения пары наблюдений
, в выборку
добавляется
, процесс продолжается до тех пор, пока в
не останется наблюдений, либо останется одно наблюдение. Выборка
порождается аналогично.
В предположении H0, статистика U-критерия Мана-Уитни имеет табличное распределение.
Критерий может быть расширен на случай k выборок за счет использования критерия Краскела-Уоллиса (обобщение U-критерия).
Литература
- Clifford Blair, R., & Thompson, G. L. (1992). A distribution-free rank-like test for scale with unequal population locations. Communications in Statistics — Simulation and Computation, 21(2), 353-371.
- Ramsey, P. H., & Ramsey, P. P. (2007). Testing variability in the two-sample case. Communications in Statistics — Simulation and Computation, 36(2), 233-248.
