Коэффициент корреляции Пирсона

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Определение

Коэффициент корреляции Пирсона характеризует существование линейной зависимости между двумя величинами.

Пусть даны две выборки x^m=\left( x_1, \cdots ,x_m  \right), \; y^m=\left( y_1, \cdots ,y_m  \right); коэффициент корреляции Пирсона рассчитывается по формуле:

r_{xy} = \frac {\sum_{i=1}^{m} \left( x_i-\bar{x} \right)\left( y_i-\bar{y} \right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m} \left( x_i-\bar{x} \right)^2 \sum_{i=1}^{m} \left( y_i-\bar{y} \right)^2}} = \frac {cov(x,y)}{\sqrt{s_x^2 s_y^2}},

где \bar{x}, \bar{y} – выборочные средние x^m и y^m, s_x^2,  s_y^2 – выборочные дисперсии, r_{xy} \in \left[-1,1\right].

Коэффициент корреляции Пирсона называют также теснотой линейной связи:

  • \left| r_{xy} \right| =1 \;\Rightarrow\; x, y линейно зависимы,
  • r_{xy}=0 \;\Rightarrow\; x, y линейно независимы.

Статистическая проверка наличия корреляции

Гипотеза: H_0: отсутствует линейная связь между выборками x и y (r_{xy} = 0).

Статистика критерия:

 T = \frac{r_{xy}\sqrt{n-2}}{sqrt{1-r^2_{xy}}} \sim t_{n-2} распределение Стьюдента с n-2 степенями свободы.

Критерий:

T \in [t_\alpha,t_{1-\alpha}], где t_\alpha есть α-квантиль распределения Стьюдента.

Слабые стороны

Четыре различных набора данных, коэффициент корреляции на которых равен 0.81
Четыре различных набора данных, коэффициент корреляции на которых равен 0.81
  • Неустойчивость к выбросам.
  • С помощью коэффициента корреляции Пирсона можно определить силу линейной зависимости между величинами, другие виды взаимосвязей выявляются методами регрессионного анализа.
  • Необходимо понимать различие понятий "независимость" и "некоррелированность". Из первого следует второе, но не наоборот.

Для того, чтобы выяснить отношение между двумя переменными, часто необходимо избавиться от влияния третьей переменной. Рассмотрим пример 3-х переменных x, y, z. Исключим влияние переменной z:

r_{xy \setminus z}=\frac{r_{xy}-r_{xz}r_{yz}}{\sqrt{ \left(\ 1-r_{xz} \right)^2 \left(\ 1-r_{yz} \right)^2}}   частный коэффициент корреляции.

Для исключения влияния большего числа переменных:

r_{ij \setminus vars}=\frac{-R_{ij}}{\sqrt{R_{ii}R_{jj}}},
R_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij},

где M_{ij} – главный минор матрицы коэффициентов корреляции переменных

 R = \begin{pmatrix} 1 & r_{12} & \dots & r_{1k} \\r_{21} & 1 & & r_{2k}\\\vdots & & \ddots & \vdots \\r_{k1} & \dots & \dots & 1\end{pmatrix} .

Литература

См. также

Ссылки

Личные инструменты