Аппроксимация Лапласа (пример)
Материал из MachineLearning.
| Строка 17: | Строка 17: | ||
==Вычислительный эксперимент== | ==Вычислительный эксперимент== | ||
| + | Обозначим плоность распределения SSE как <tex> p_{SSE}</tex>, а его апроксимация лапласса <tex> p_{SSE laplas}</tex> | ||
===Пример 1=== | ===Пример 1=== | ||
Задуманная функция <tex>y=x + sin3x</tex>. Берем линейную регрессионную модель с 2-мя параметрами: <tex>y(x)=w_1+w_2x</tex>. | Задуманная функция <tex>y=x + sin3x</tex>. Берем линейную регрессионную модель с 2-мя параметрами: <tex>y(x)=w_1+w_2x</tex>. | ||
| - | Используя '''МНК''' находим оптимальное значение <tex>w_1_{opt}</tex> и <tex>w_2_{opt}</tex> (при которых ''SSE'' минимально). При фиксированном <tex>w_1=w_1_{opt}</tex> задем произвольное значение <tex>w_2</tex> (500 значений на отрезке [-1;2]) и строим зависимость: | + | Используя '''МНК''' находим оптимальное значение <tex>w_1_{opt}</tex> и <tex>w_2_{opt}</tex> (при которых ''SSE'' минимально). |
| + | '''При фиксированном''' <tex>w_1=w_1_{opt}</tex> задем произвольное значение <tex>w_2</tex> (500 значений на отрезке [-1;2]) и строим зависимость: | ||
| - | [[Изображение:Sse(w2)_1.png]] | + | [[Изображение:Sse(w2)_1.png|center|frame|<tex>D_{kl}(p_{SSE},p_{SSE laplas})=0.0085</tex>]] |
| - | Повторим тоже самое, только теперь варируем сразу оба параметра <tex>w_1</tex> и <tex>w_2</tex> | + | '''Повторим тоже самое''', только теперь варируем сразу оба параметра <tex>w_1</tex> и <tex>w_2</tex> |
| - | [[Изображение:Sse(w1,w2).png]] | + | [[Изображение:Sse(w1,w2).png|center]] |
и его апроксимация лапласса | и его апроксимация лапласса | ||
| - | [[Изображение:Sse(w1,w2)_laplas.png]] | + | [[Изображение:Sse(w1,w2)_laplas.png|center]] |
| + | |||
| + | в этом случае: <tex>D_{kl}(p_{SSE},p_{SSE laplas})=1.4616</tex> | ||
Версия 06:37, 16 ноября 2010
Аппроксимация Лапласа - простой, но широко используемый способ нахождения нормального (Гауссово) распределения для апроксимации заданой плотности вероятности.
Содержание |
Сэмплирование
Сэмплирование – процесс выбора подмножества наблюдаемых величин из данного множества, для дальнейшего его анализа.
Одно из основных приминений методов сэмплирования заключается в оценке мат. ожидания сложных вероятностных распределений: , для которых тяжело делать выборку непосредственно из распределения p(z). Однако, можно подсчитать значение p(z) в любой точке z. Один из наиболее простых методов подсчета мат. ожидаия – разбить ось z на равномерную сетку и подсчитать интеграл как сумму
≅
. Существует несколько методов сэмплирования для создания подходящей выборки длинны L ???.
Постановка задачи
Задана выборка — множество значений свободных переменных и множество
соответствующих им значений зависимой переменной.
Необходимо для выбранной регрессионной модели
показать зависимость среднеквадратичной ошибки от значений параметров модели:
; построить график и сделать апроксимацию Лапласа для него; используя метрику Кульбака - Лейблера, найти расстояния между получиными зависимостями.
Описание алгоритма
метрика Кульбака - Лейблера:
Вычислительный эксперимент
Обозначим плоность распределения SSE как , а его апроксимация лапласса
Пример 1
Задуманная функция . Берем линейную регрессионную модель с 2-мя параметрами:
.
Используя МНК находим оптимальное значение
и
(при которых SSE минимально).
При фиксированном
задем произвольное значение
(500 значений на отрезке [-1;2]) и строим зависимость:
Повторим тоже самое, только теперь варируем сразу оба параметра и
и его апроксимация лапласса
в этом случае:
