Барицентры и их приложения (регулярный семинар)

Материал из MachineLearning.

Версия 10:30, 23 октября 2015 (править) Ansobol (Обсуждение | вклад) ← К предыдущему изменению		Текущая версия (11:57, 28 октября 2015) (править) (отменить) Ansobol (Обсуждение | вклад)
(5 промежуточных версий не показаны.)
Строка 1:		Строка 1:
	== Описание семинара: ==		== Описание семинара: ==
		+	Многие возникающие на практике многомерные ряды данных можно представить как меры на некотором метрическом пространстве (распределение интенсивности по полю изображения или по объему томограммы, пикселов - в цветовом пространстве и т.п.). Задачи анализа таких данных требуют подходящей операции усреднения, но множество мер на метрическом пространстве само допускает лишь метрическую структуру ("метрика Вассерштейна"): естественных векторных операций, необходимых для усреднения, на нем нет. Однако усреднение можно определить в чисто метрических терминах, как среднее по Фреше (элемент пространства мер, минимизирующий сумму квадратов расстояний до элементов выборки) - эта конструкция была предложена в 2011 году G. Carlier и M. Agueh под названием "барицентра Вассерштейна". В нашей группе мы изучаем геометрию пространства мер, планируем получить предельные теоремы для случайных мер (варианты закона больших чисел, центральной предельной теоремы, принципов больших уклонений - все с использованием барицентров Вассерштейна как средних), а также рассмотрим аналогичные конструкции для параметрических моделей (трактуемых как конечномерные подмногообразия в пространстве мер). Будут также рассматриваться вопросы эффективного численного вычисления барицентров.
	== Время заседаний: ==		== Время заседаний: ==
		+	Регулярный семинар, проводится в ИППИ РАН по пятницам в 10-00, ауд. 615.
	== Научные руководители семинара ==		== Научные руководители семинара ==
		+	[http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=Участник:ansobol А.Н. Соболевский], [http://www.hse.ru/org/persons/148764989 В. Г. Спокойный], [http://www.mathnet.ru/php/person.phtml?option_lang=rus&personid=76268 Е. О. Черноусова]
	== Организатор семинара ==		== Организатор семинара ==
		+	Совместный учебно-научный семинар магистерской программы [http://www.hse.ru/ma/mmos/ Математические методы оптимизации и стохастики] [http://cs.hse.ru Факультета Компьютерных наук] [http://www.hse.ru НИУ ВШЭ], [http://iitp.ru/ru/about Института проблем передачи информации РАН] и [http://premolab.ru Лаборатории ПреМоЛаб МФТИ]. Куратор семинара [http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=Участник:ansobol Андрей Соболевский] (профили в [http://www.hse.ru/staff/sobolevski НИУ ВШЭ] и на [http://www.mathnet.ru/php/person.phtml?option_lang=rus&personid=8652 MathNet.ru])
	== Прошедшие заседания ==		== Прошедшие заседания ==
		+	== Полезные ссылки ==
		+
		+	# [http://www.math.toronto.edu/mccann/publications Страница R.J. McCann] на сайте математического факультета университета Торонто
		+	# [http://cvgmt.sns.it/person/3/ Страница L. Ambrosio] на CVGMT.sns.it
		+
		+	== Литература ==
		+
		+	=== Некоторые первоисточники ===
		+
		+	# Monge, Gaspard (1784). Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais. ''Histoire de l'Académie Royale des des sciences'' (1784) 666-704 ([http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k35800/f796.image читать])
		+	# Brenier, Yann (1991). Polar factorization and monotone rearrangement of vector-valued functions. ''Comm. Pure Appl. Math.'' '''44''':4 (1991) 375-417 ([http://www.math.u-psud.fr/~maury/paps/TO.Brenier91.FactPol.pdf скачать]) [http://dx.doi.org/10.1002/cpa.3160440402 doi:10.1002/cpa.3160440402]
		+	# Agueh, Martial; Carlier, Guillaume (2011). Barycenters in the Wasserstein space. ''SIAM J. Math. Anal.'' '''43''':2 (2011) 904-924 ([https://www.ceremade.dauphine.fr/~carlier/AC_bary_Aug11_10.pdf скачать]) [http://dx.doi.org/10.1137/100805741 doi:10.1137/100805741]
		+
		+	=== Обзоры, монографии, учебники ===
		+
		+	# Ambrosio, Luigi; Gigli, Nicola (2011). ''A user's guide to optimal transport'' (preprint), 2001 ([http://cvgmt.sns.it/media/doc/paper/195/users_guide-final.pdf скачать])
		+	# Villani, Cédric (2009) ''Optimal transport, old and new''. Grundlehren der Matematiscohen Wissenschaften '''58''', Berlin etc: Springer, 2009 ([http://cedricvillani.org/wp-content/uploads/2012/08/preprint-1.pdf скачать препринт])
		+
		+	=== Разные статьи ===
		+
		+	# Gangbo, Wilfrid; MacCann, Robert J. (1996). The geometry of optimal transportation. ''Acta Math.'' '''177''' (1996) 113-161 ([http://www.math.toronto.edu/mccann/papers/geometry.pdf скачать]) [http://dx.doi.org/10.1007/BF02392620 doi:10.1007/BF02392620] (определение и подробное обсуждение основных понятий <tex>c</tex>-выпуклого анализа)
		+	# Otto, Felix (2001). The geometry of dissipative evolution equations: the porous medium equation. ''Comm. PDE'' '''26''' (2001) 101-174 ([http://www.mis.mpg.de/preprints/1999/preprint1999_8.pdf скачать препринт]) [http://dx.doi.org/10.1081/PDE-100002243 doi:10.1081/PDE-100002243] (математическое описание диффузии как градиентного потока в пространстве Вассерштейна)
		+	# Carlen, Eric; Gangbo, Wilfrid (2003). Constrained steepest descent in the <tex>2</tex>-Wasserstein metric. ''Annals of Math.'' '''157''':3 (2003) 807-846 ([http://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v157-n3-p03.pdf скачать]) [http://dx.doi.org/10.4007/annals.2003.157.807 doi:10.4007/annals.2003.157.807] (развитие работы F.&nbsp;Otto — подробное описание пространства мер с квадратичной метрикой Вассерштейна как риманова многообразия: касательные пространства, метрический тензор)
		+	# Takatsu, Asuka (2011). Wasserstein geometry of Gaussian measures. ''Osaka J. Math'' '''48''':4 (2011) 1005-1026 ([http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ojm/1326291215 скачать]) [http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1326291215 http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1326291215] (явное описание римановой метрики, индуцируемой метрикой Вассерштейна на конусе положительно определенных симметричных матриц, рассматриваемых как матрицы ковариации гауссовых распределений)
		+	# Cuturi, Marco; Doucet, Arnaud (2014) Fast computation of Wasserstein barycenters. ''Proc. 31st Intl Conf. Machine Learning'' (Beijing, 2014) 685-693 ([http://jmlr.org/proceedings/papers/v32/cuturi14.pdf скачать])
	[[Категория:Учебные курсы]]		[[Категория:Учебные курсы]]

---

Текущая версия

Содержание 1 Описание семинара: 2 Время заседаний: 3 Научные руководители семинара 4 Организатор семинара 5 Прошедшие заседания 6 Полезные ссылки 7 Литература 7.1 Некоторые первоисточники 7.2 Обзоры, монографии, учебники 7.3 Разные статьи

Описание семинара:

Многие возникающие на практике многомерные ряды данных можно представить как меры на некотором метрическом пространстве (распределение интенсивности по полю изображения или по объему томограммы, пикселов - в цветовом пространстве и т.п.). Задачи анализа таких данных требуют подходящей операции усреднения, но множество мер на метрическом пространстве само допускает лишь метрическую структуру ("метрика Вассерштейна"): естественных векторных операций, необходимых для усреднения, на нем нет. Однако усреднение можно определить в чисто метрических терминах, как среднее по Фреше (элемент пространства мер, минимизирующий сумму квадратов расстояний до элементов выборки) - эта конструкция была предложена в 2011 году G. Carlier и M. Agueh под названием "барицентра Вассерштейна". В нашей группе мы изучаем геометрию пространства мер, планируем получить предельные теоремы для случайных мер (варианты закона больших чисел, центральной предельной теоремы, принципов больших уклонений - все с использованием барицентров Вассерштейна как средних), а также рассмотрим аналогичные конструкции для параметрических моделей (трактуемых как конечномерные подмногообразия в пространстве мер). Будут также рассматриваться вопросы эффективного численного вычисления барицентров.

Время заседаний:

Регулярный семинар, проводится в ИППИ РАН по пятницам в 10-00, ауд. 615.

Научные руководители семинара

А.Н. Соболевский, В. Г. Спокойный, Е. О. Черноусова

Организатор семинара

Совместный учебно-научный семинар магистерской программы Математические методы оптимизации и стохастики Факультета Компьютерных наук НИУ ВШЭ, Института проблем передачи информации РАН и Лаборатории ПреМоЛаб МФТИ. Куратор семинара Андрей Соболевский (профили в НИУ ВШЭ и на MathNet.ru)

Прошедшие заседания

Полезные ссылки

1. Страница R.J. McCann на сайте математического факультета университета Торонто
2. Страница L. Ambrosio на CVGMT.sns.it

Литература

Некоторые первоисточники

1. Monge, Gaspard (1784). Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais. Histoire de l'Académie Royale des des sciences (1784) 666-704 (читать)
2. Brenier, Yann (1991). Polar factorization and monotone rearrangement of vector-valued functions. Comm. Pure Appl. Math. 44:4 (1991) 375-417 (скачать) doi:10.1002/cpa.3160440402
3. Agueh, Martial; Carlier, Guillaume (2011). Barycenters in the Wasserstein space. SIAM J. Math. Anal. 43:2 (2011) 904-924 (скачать) doi:10.1137/100805741

Обзоры, монографии, учебники

1. Ambrosio, Luigi; Gigli, Nicola (2011). A user's guide to optimal transport (preprint), 2001 (скачать)
2. Villani, Cédric (2009) Optimal transport, old and new. Grundlehren der Matematiscohen Wissenschaften 58, Berlin etc: Springer, 2009 (скачать препринт)

Разные статьи

1. Gangbo, Wilfrid; MacCann, Robert J. (1996). The geometry of optimal transportation. Acta Math. 177 (1996) 113-161 (скачать) doi:10.1007/BF02392620 (определение и подробное обсуждение основных понятий -выпуклого анализа)
2. Otto, Felix (2001). The geometry of dissipative evolution equations: the porous medium equation. Comm. PDE 26 (2001) 101-174 (скачать препринт) doi:10.1081/PDE-100002243 (математическое описание диффузии как градиентного потока в пространстве Вассерштейна)
3. Carlen, Eric; Gangbo, Wilfrid (2003). Constrained steepest descent in the -Wasserstein metric. Annals of Math. 157:3 (2003) 807-846 (скачать) doi:10.4007/annals.2003.157.807 (развитие работы F. Otto — подробное описание пространства мер с квадратичной метрикой Вассерштейна как риманова многообразия: касательные пространства, метрический тензор)
4. Takatsu, Asuka (2011). Wasserstein geometry of Gaussian measures. Osaka J. Math 48:4 (2011) 1005-1026 (скачать) http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1326291215 (явное описание римановой метрики, индуцируемой метрикой Вассерштейна на конусе положительно определенных симметричных матриц, рассматриваемых как матрицы ковариации гауссовых распределений)
5. Cuturi, Marco; Doucet, Arnaud (2014) Fast computation of Wasserstein barycenters. Proc. 31st Intl Conf. Machine Learning (Beijing, 2014) 685-693 (скачать)