Участник:Gukov/Песочница
Материал из MachineLearning.
(→Заключение) |
(→Случай почти равных корней) |
||
(13 промежуточных версий не показаны.) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
== Введение == | == Введение == | ||
- | === | + | === Метод Ньютона-Рафсона === |
+ | {{main|Метод касательных (Ньютона-Рафсона)}} | ||
- | + | Пусть имеется некоторая функция <tex>F(x)</tex> и необходимо найти такие значения аргумента <tex>x</tex>, для которых | |
- | {{ eqno | 1}} | + | {{eqno|1}} |
- | :<tex> | + | :<tex>F(x)=0</tex> |
- | + | Перепишем {{eqref|1}} в виде | |
- | <tex> | + | {{eqno|1.1}} |
- | f(x) | + | :<tex>x = f(x)</tex> |
- | </tex> | + | |
- | {{ eqno | 2}} | + | и запишем <tex>n+1</tex>-ое приближения корня {{eqref|1.1}}, при этом делая поправку <tex>\alpha</tex> к очередному значению <tex>x_n</tex> |
- | :<tex> | + | {{eqno|2}} |
+ | :<tex>x_{n+1} = x_n + \alpha \Delta x_n,</tex> | ||
+ | где <tex>\Delta x_n = f(x_n) - x_n,</tex> и положим <tex>\alpha = \frac{1}{1-f'(x_n)}</tex>. | ||
- | + | Тогда {{eqref|2}} перепишется в виде | |
- | + | {{eqno|3}} | |
+ | :<tex>x_{n+1} = \frac{f(x_n) - x_n f'(x_n)}{1 - f'(x_n)}</tex> | ||
- | :<tex> | + | Нетрудно видеть, что {{eqref|3}} эквивалентно простому [[Метод последовательных приближений|методу последовательных приближений]] |
+ | :<tex>x_{n+1} = g(x_n),</tex> | ||
+ | где <tex>g(x) = \frac{f(x) - x f'(x)}{1 - f'(x)}</tex>. | ||
- | + | Вспомним также, что если <tex>|g'(x)| < 1</tex>, то метод сходится. Имеем | |
- | + | :<tex>g'(x) = \frac{f''(x)[f(x) - x]}{[1 - f'(x)]^2}.</tex> | |
- | + | Но так как справедливо соотношение {{eqref|1.1}}, то для <tex>x,</tex> достаточно близких к решению {{eqref|1.1}}, выражение в скобках в числителе дроби становится малым. Поэтому итерационный метод, описываемый формулой {{eqref|3}} сходится, если | |
+ | * 1. Начальное приближение <tex>x_0</tex> выбрано достаточно близко к решению <tex>x = f(x)</tex>. | ||
+ | * 2. Производная <tex>f''(x)</tex> не становится слишком большой. | ||
+ | * 3. Производная <tex>f'(x)</tex> не слишком близка к 1. | ||
- | + | Это и есть метод Ньютона-Рафсона. Обычно его записывают в виде | |
+ | {{eqno|4}} | ||
+ | :<tex>x_{n+1} = x_{n} - \frac{F(x_n)}{F'(x_n)}</tex>, | ||
- | == | + | где <tex>F(x) = f(x) - x = 0</tex> |
- | = | + | Таким образом, мы вернулись к уравнению в форме {{eqref|1}}, и условия сходимости принимают следующий вид |
+ | * 1. Начальное приближение <tex>x_0</tex> выбрано достаточно близко к корню уравнения <tex>F(x) = 0</tex>. | ||
+ | * 2. Производная <tex>F''(x)</tex> не становится очень большой. | ||
+ | * 3. Производная <tex>F'(x)</tex> не слишком близка к 0. | ||
- | + | === Случай почти равных корней === | |
- | + | [[Изображение:macon.png|thumb|200px|Рисунок 1]] | |
- | + | Условие 3 сходимости метода Ньютона-Рафсона означает, что никакие два корня не находятся слишком близко один к другому. Соответствующая ситуация представлена на рисунке 1 (масштаб сильно увеличен). Заметим, что производная <tex>f'(x)</tex> близка | |
- | + | к 1 при x, равном обоим значениям корней, <tex>a_1</tex> и <tex>a_2</tex>. Более того, на основании теоремы Лагранжа, можно утверждать, что <tex>f'(x) = 1</tex> где-то между <tex>a_1</tex> и <tex>a_2</tex>. | |
- | + | ||
- | + | Рассмотрим, что случится, если принять <tex>x_0</tex> в качестве исходного значения для корня <tex>a_1</tex>. Касательная, | |
- | + | проведенная через точку <tex>C</tex>, пересечет прямую <tex>y=x</tex> в точке <tex>A</tex>, и следующее приближение будет равно | |
+ | <tex>x_1</tex>. Касательная, проведенная через точку <tex>B</tex>, пересекает прямую в точке <tex>D</tex>, и в качестве следующего приближеня получается снова <tex>x_0</tex>. Итерационный процесс, таким образом, осциллирует между <tex>x_0</tex> и <tex>x_1</tex> | ||
+ | до бесконечности, не сходясь ни к одному значению корня. Иначе говоря, не удается <i>отделить</i> эти два корня, потому что они расположены слишком близко. | ||
- | + | Поэтому необходимо начальное приближение, достаточно близкое к искомому значению корня. Трудности возникают потому, что | |
- | + | вычисление знаменателя в формуле {{eqref|3}} включает в себя вычитание двух почти равных чисел, что приводит к понижению точности. | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | == Изложение метода == | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | === Поиск начального приближения === | |
- | то есть | + | [[Изображение:macon2.PNG|thumb|200px|Рисунок 2]] |
+ | Сначала находится значение x, при котором <tex>f'(x)=1</tex>, то есть решается уравнение | ||
+ | :<tex>x=x+f'(x)-1</tex> | ||
+ | Пусть решением этого уравнения будет некоторое <tex>x = x_0</tex>. Эта точка расположена между двумя корнями, <tex>a_1</tex> и <tex>a_2</tex>. Чтобы получить начальное приближение для решения уравнения, предположим, что <tex>x_0</tex> лежит посредине между | ||
+ | <tex>a_1</tex> и <tex>a_2</tex> (рисунок 2). Другими словами, мы предполагаем, что <tex>x_0 + d</tex> и <tex>x_0 - d</tex> являются корнями уравнения {{eqref|1.1}}. Разлагая <tex>f(x)</tex> в ряд Тейлора в окрестности точки <tex>x_0</tex> и принимая во внимание, что <tex>f'(x)=1</tex>, получаем | ||
+ | :<tex>f(x) = f(x_0) + (x - x_0) + \frac{1}{2} f''(x_0) (x - x_0)^2 + \ldots</tex> | ||
- | + | Ограничим ряд тремя членами. Подставляя <tex>x + d</tex> вместо <tex>x</tex>, имеем | |
+ | :<tex>f(x_0+d) = f(x_0) + d + \frac{1}{2} f''(x_0)(d^2)</tex> | ||
- | + | Но по условию | |
- | :<tex> | + | :<tex>f(x_0+d) = x_0+d,</tex> |
- | + | поэтому, решая эти уравнения относительно <tex>d</tex>, получаем | |
+ | :<tex>d=\sqrt{\frac{2(x_0 - f(x_0))}{f''(x_0)}}</tex> | ||
- | + | Таким образом, процесс решения сводится к следующему. Если дано уравнение с почти равными корнями, то, определив приблизительное | |
+ | местонахождение этих корней, необходиом решить уравнение | ||
+ | :<tex>x = x + f'(x) - 1</tex> | ||
- | + | и определить значение <tex>x_0</tex>. Для решения этого уравнения можно применить, например, метод Ньютона-Рафсона. | |
- | <tex> | + | Найдя значение <tex>x_0</tex>, можно определить значение <tex>d</tex>. И, наконец, значения <tex>x_0-d</tex> и <tex>x_0+d</tex> |
- | + | используются в качестве начальных приближений для определения соответственно <tex>a_1</tex> и <tex>a_2</tex>. | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
=== Метод Рунге === | === Метод Рунге === | ||
Строка 224: | Строка 221: | ||
== Рекомендации программисту == | == Рекомендации программисту == | ||
+ | |||
+ | Программируя экстраполяцию Ричардсона следует предпочесть итерацию рекурсии. | ||
+ | Также реализуя многократное экстраполирование итеративно, нам не нужно хранить всю таблицу значений - достаточно иметь в распоряжении два последних столбца. | ||
== Заключение == | == Заключение == |
Текущая версия
Содержание |
Введение
Метод Ньютона-Рафсона
Пусть имеется некоторая функция и необходимо найти такие значения аргумента , для которых
Перепишем (1) в виде
и запишем -ое приближения корня (1.1), при этом делая поправку к очередному значению
где и положим .
Тогда (2) перепишется в виде
Нетрудно видеть, что (3) эквивалентно простому методу последовательных приближений
где .
Вспомним также, что если , то метод сходится. Имеем
Но так как справедливо соотношение (1.1), то для достаточно близких к решению (1.1), выражение в скобках в числителе дроби становится малым. Поэтому итерационный метод, описываемый формулой (3) сходится, если
- 1. Начальное приближение выбрано достаточно близко к решению .
- 2. Производная не становится слишком большой.
- 3. Производная не слишком близка к 1.
Это и есть метод Ньютона-Рафсона. Обычно его записывают в виде
- ,
где
Таким образом, мы вернулись к уравнению в форме (1), и условия сходимости принимают следующий вид
- 1. Начальное приближение выбрано достаточно близко к корню уравнения .
- 2. Производная не становится очень большой.
- 3. Производная не слишком близка к 0.
Случай почти равных корней
Условие 3 сходимости метода Ньютона-Рафсона означает, что никакие два корня не находятся слишком близко один к другому. Соответствующая ситуация представлена на рисунке 1 (масштаб сильно увеличен). Заметим, что производная близка к 1 при x, равном обоим значениям корней, и . Более того, на основании теоремы Лагранжа, можно утверждать, что где-то между и .
Рассмотрим, что случится, если принять в качестве исходного значения для корня . Касательная, проведенная через точку , пересечет прямую в точке , и следующее приближение будет равно . Касательная, проведенная через точку , пересекает прямую в точке , и в качестве следующего приближеня получается снова . Итерационный процесс, таким образом, осциллирует между и до бесконечности, не сходясь ни к одному значению корня. Иначе говоря, не удается отделить эти два корня, потому что они расположены слишком близко.
Поэтому необходимо начальное приближение, достаточно близкое к искомому значению корня. Трудности возникают потому, что вычисление знаменателя в формуле (3) включает в себя вычитание двух почти равных чисел, что приводит к понижению точности.
Изложение метода
Поиск начального приближения
Сначала находится значение x, при котором , то есть решается уравнение
Пусть решением этого уравнения будет некоторое . Эта точка расположена между двумя корнями, и . Чтобы получить начальное приближение для решения уравнения, предположим, что лежит посредине между и (рисунок 2). Другими словами, мы предполагаем, что и являются корнями уравнения (1.1). Разлагая в ряд Тейлора в окрестности точки и принимая во внимание, что , получаем
Ограничим ряд тремя членами. Подставляя вместо , имеем
Но по условию
поэтому, решая эти уравнения относительно , получаем
Таким образом, процесс решения сводится к следующему. Если дано уравнение с почти равными корнями, то, определив приблизительное местонахождение этих корней, необходиом решить уравнение
и определить значение . Для решения этого уравнения можно применить, например, метод Ньютона-Рафсона. Найдя значение , можно определить значение . И, наконец, значения и используются в качестве начальных приближений для определения соответственно и .
Метод Рунге
Пусть существует асимптотическое разложение вида:
,
где - достаточно гладкая функция, а .
Проведем расчеты на двух равномерных сетках с шагами и соответственно и найдем выражения и , . Потребуем, чтобы погрешность для их линейной комбинации:
была величиной более высокого порядка по сравнению с и . Если для имеет место формула вида
- ,
то для
получим
Выберем параметр \sigma из условия :
- .
Имеем
- , ,
причем . Так, если , то . Таким образом, проведя вычисления на двух сетках с шагами и , мы повысили порядок точности на (на ) для .
Процесс Эйткена
Метод расчета на нескольких сетках применяется для повышения порядка точности даже в том случае, когда неизвестен порядок главного члена погрешности. Предположим, чт для погрешности имеет место представление
- , ,
так что
Проведем вычисления на трех сетках: , , (). Определим . При этом пренебрегаем членом . Образуем отношение
и найдем
- .
Зная приближенное значение , можно методом методом Рунге повысить порядок точности. Для этого образуем комбинацию и выберем так, чтобы , то есть . Тогда для погрешности получаем
- .
Числовой пример
Найдем с помощью квадратурной формулы трапеций приближенное значение интеграла, применив экстраполяцию Ричардсона (данный метод называется методом Ромберга):
В нижеследующей таблице представлены результаты работы программы:
r | Исходная формула | Экстраполированная формула | Точное значение | Погрешность вычислений | Погрешность формулы |
---|---|---|---|---|---|
2 | 3.98277278 | 4.04665506 | 4.04718956 | 0.0005345 | 0.00275556 |
4 | 4.03068449 | 4.04714980 | 4.04718956 | 0.00003976 | 0.00017222 |
8 | 4.04303347 | 4.04718692 | 4.04718956 | 0.00000264 | 0.00001076 |
16 | 4.04614856 | 4.04718939 | 4.04718956 | 0.00000017 | 0.00000067 |
32 | 4.04692918 | 4.04718955 | 4.04718956 | 0.00000001 | 0.00000004 |
64 | 4.04712446 | 4.04718956 | 4.04718956 | 0 | 0 |
20384 | 4.04718956 |
Здесь - коэффициент измельчения шага . Исходная величина шага .
На иллюстрации черная сплошная линия - исходная формула, красная пунктирная - экстраполированная.
Как мы видим, разница между экстраполированными и неэкстраполированными результатами значительна. Уже при величине шага в мы можем найти значение интеграла с точностью , тогда как в исходной формуле нам для достижения такой точности пришлось бы задать величину шага .
Рекомендации программисту
Программируя экстраполяцию Ричардсона следует предпочесть итерацию рекурсии. Также реализуя многократное экстраполирование итеративно, нам не нужно хранить всю таблицу значений - достаточно иметь в распоряжении два последних столбца.
Заключение
Мы получили более точные результаты при меньшем количестве вычислений функции, чем в исходном методе. Избавившись от степени, составляющей ошибку, мы пришли к результату, который в противном случае был бы недостижим без значительного уменьшения размера шага. Таким образом, мы преобразовали весьма посредственный алгоритм вычисления интегралов в довольно эффективный.
Список литературы
- А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы М.: Наука, 1989.
- Fundamental Methods of Numerical Extrapolation With Applications, mit.edu