Сходимость по вероятности
Материал из MachineLearning.
(→Литература) |
(дополнение) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
== Определение == | == Определение == | ||
- | Пусть <tex>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</tex> - [[вероятностное пространство]] с определёнными на нём случайными величинами <tex>X,\; X_n\;(n=1,2,\ldots)</tex> | + | Пусть <tex>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</tex> - [[вероятностное пространство]] с определёнными на нём случайными величинами <tex>X,\; X_n\;(n=1,2,\ldots)</tex>. |
+ | |||
+ | Говорят, что <tex>\{X_n\}_{n=1}^{\infty}</tex> '''сходится по вероятности''' к <tex>X</tex>, если | ||
: <tex>\forall \varepsilon > 0,\; \lim\limits_{n \to \infty} \mathbb{P}(|X_n - X| > \varepsilon) = 0</tex>. | : <tex>\forall \varepsilon > 0,\; \lim\limits_{n \to \infty} \mathbb{P}(|X_n - X| > \varepsilon) = 0</tex>. | ||
- | Обозначение: <tex>X_n \stackrel{\mathbb{P}}{\longrightarrow} X</tex>. | + | '''Обозначение''': <tex>X_n \stackrel{\mathbb{P}}{\longrightarrow} X</tex>. |
+ | |||
+ | ==Пояснение и пример== | ||
+ | |||
+ | Данное свойство означает, что если взять величину <tex>X_n</tex> с достаточно большим номером, то вероятность значительного отклонения от предельной величины <tex>X</tex> будет небольшой. Однако важно понимать, что если одновременно (т.е. для одного и того же элементарного исхода <tex>\omega</tex>) рассмотреть последовательность <tex>\{X_n(\omega)\}</tex>, то она не обязана сходиться к значению <tex>X(\omega)</tex>, вообще говоря, ни при каком <tex>\omega</tex>. Т.е. сколь угодно далеко могут находиться сильно отклоняющиеся значения, просто их "не очень много", поэтому вероятность того, что такое сильное отклонение попадет в заданном эксперименте на конкретно заданный номер <tex>n</tex>, мала. | ||
+ | |||
+ | В качестве примера рассмотрим вероятностное пространство <tex>\Omega = [0,1]</tex>, вероятность - мера Лебега (т.е. вероятность любого интервала равна его длине). Случайные величины зададим следующим образом: для первых двух <tex>X_1,X_2</tex> разбиваем <tex>\Omega</tex> на два интервала <tex>[0,\frac{1}{2})</tex> и <tex>(\frac{1}{2},1]</tex> и определяем <tex>X_1</tex> равной 1 на первом интервале и 0 на втором, а <tex>X_2</tex> - наоборот, 0 на первом интервале и 1 на втором. Далее берем следующие четыре величины <tex>X_3,X_4,X_5,X_6</tex>, делим <tex>\Omega</tex> на четыре непересекающихся интервала длины <tex>\frac14</tex> и задаем каждую величину равной 1 на своем интервале и 0 на остальных. Затем рассматриваем следующие 8 величин, делим <tex>\Omega</tex> на 8 интервалов и т.д. | ||
+ | |||
+ | В результате для каждого элементарного исхода <tex>\omega</tex> последовательность значений имеет вид: | ||
+ | |||
+ | <center><tex>\{X_n(\omega)\}=(\underbrace{1,0},\underbrace{0,0,1,0},\underbrace{0,0,0,0,0,1,0,0},\ldots)</tex></center>: | ||
+ | |||
+ | последовательность состоит из серий длин <tex>2,4,8,16,\ldots,2^k,=ldots</tex>, причем в каждой серии на каком-либо одном месте (зависящем от выбранного элементарного исхода) стоит значение 1, а на остальных местах - нули. | ||
+ | |||
+ | ... to be continued... | ||
== Литература == | == Литература == |
Версия 16:02, 6 ноября 2009
Определение
Пусть - вероятностное пространство с определёнными на нём случайными величинами .
Говорят, что сходится по вероятности к , если
- .
Обозначение: .
Пояснение и пример
Данное свойство означает, что если взять величину с достаточно большим номером, то вероятность значительного отклонения от предельной величины будет небольшой. Однако важно понимать, что если одновременно (т.е. для одного и того же элементарного исхода ) рассмотреть последовательность , то она не обязана сходиться к значению , вообще говоря, ни при каком . Т.е. сколь угодно далеко могут находиться сильно отклоняющиеся значения, просто их "не очень много", поэтому вероятность того, что такое сильное отклонение попадет в заданном эксперименте на конкретно заданный номер , мала.
В качестве примера рассмотрим вероятностное пространство , вероятность - мера Лебега (т.е. вероятность любого интервала равна его длине). Случайные величины зададим следующим образом: для первых двух разбиваем на два интервала и и определяем равной 1 на первом интервале и 0 на втором, а - наоборот, 0 на первом интервале и 1 на втором. Далее берем следующие четыре величины , делим на четыре непересекающихся интервала длины и задаем каждую величину равной 1 на своем интервале и 0 на остальных. Затем рассматриваем следующие 8 величин, делим на 8 интервалов и т.д.
В результате для каждого элементарного исхода последовательность значений имеет вид:
последовательность состоит из серий длин , причем в каждой серии на каком-либо одном месте (зависящем от выбранного элементарного исхода) стоит значение 1, а на остальных местах - нули.
... to be continued...
Литература
- Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. — пер. с англ. — М.: Наука, 1977.
- Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.