Участник:Алексей Куренной/Песочница
Материал из MachineLearning.
(→Оценки функции роста) |
(→Оценки функции роста) |
||
Строка 8: | Строка 8: | ||
Поскольку <tex>\Delta(A, X^L) \leq 2^L</tex> для любого семейства алгоритмов и любой выборки длины L, <tex>\Delta^A(L) \leq 2^L</tex>. Более детально поведение функции роста описывается следующей теоремой:<br> | Поскольку <tex>\Delta(A, X^L) \leq 2^L</tex> для любого семейства алгоритмов и любой выборки длины L, <tex>\Delta^A(L) \leq 2^L</tex>. Более детально поведение функции роста описывается следующей теоремой:<br> | ||
'''Теорема.''' Для функции роста произвольного семейства алгоритмов есть ровно две возможности:<br> | '''Теорема.''' Для функции роста произвольного семейства алгоритмов есть ровно две возможности:<br> | ||
- | :#либо <tex>\forall\,L\in\mathbb{N}\ \Delta^A(L) = 2^L</tex> (в этом случае говорят, что [[ёмкость]] семейства <tex>A</tex> равна <tex>\infty</tex>), | + | :#либо <tex>\forall\,L\in\mathbb{N}\ \Delta^A(L) = 2^L\;</tex> (в этом случае говорят, что [[ёмкость]] семейства <tex>A</tex> равна <tex>\infty</tex>), |
- | :#либо <tex>\exists\,L\in \mathbb{N}\::\: \Delta^A(l)\,\begin{cases} = 2^l, & l\, | + | :#либо <tex>\exists\,L\in \mathbb{N}\::\: \Delta^A(l)\,\begin{cases} = 2^l, & l\leq L, \\ \leq \Phi^L_l, & l\geq L\end{cases}</tex>, где <tex>\Phi^L_l = C^0_l + C^1_l + \dots + C^L_l\;</tex> (тогда [[ёмкость]] семейства <tex>A</tex> полагают равной <tex>L</tex>). |
Эту теорему можно доказать, опираясь на лемму [[Вапник, Владимир Наумович | Вапника]] -[[Червоненкис, Алексей Яковлевич | Червоненкиса]]:<br> | Эту теорему можно доказать, опираясь на лемму [[Вапник, Владимир Наумович | Вапника]] -[[Червоненкис, Алексей Яковлевич | Червоненкиса]]:<br> | ||
'''Лемма.''' <tex>\forall\,A,\,L,\,h = 0,\,1,\,\dots,\,L - 1</tex> выполнено:<br> | '''Лемма.''' <tex>\forall\,A,\,L,\,h = 0,\,1,\,\dots,\,L - 1</tex> выполнено:<br> | ||
- | : для любой выборки<tex>X^L\ [(\forall\,X^{h + 1}\subseteq X^L\ \Delta(A, X^{h + 1})\,<\,2^{h + 1})\Rightarrow\Delta(A, X^L)\leq\Phi^h_L | + | : для любой выборки <tex>X^L\ \left[\left(\forall\,X^{h + 1}\subseteq X^L\ \Delta(A, X^{h + 1})\,<\,2^{h + 1}\right)\Rightarrow\Delta(A, X^L)\leq\Phi^h_L\right]</tex>. |
'''Доказательство леммы'''. Сначала докажем лемму для <tex>h = 0</tex> и <tex>h = L - 1</tex>. В случае <tex>h = 0</tex> выполнение левой части импликации из условия леммы означает, что на произвольном элементе выборки <tex>X^L</tex> все алгоритмы семейства ведут себя одинаково, но тогда <tex>\Delta(A,X^L) = 1 = \Phi^0_L</tex>. Если же <tex>h = L - 1</tex>, то лемма справедлива в силу оценки <tex>\Delta^A(L) \leq 2^L = \Phi^L_L</tex>. | '''Доказательство леммы'''. Сначала докажем лемму для <tex>h = 0</tex> и <tex>h = L - 1</tex>. В случае <tex>h = 0</tex> выполнение левой части импликации из условия леммы означает, что на произвольном элементе выборки <tex>X^L</tex> все алгоритмы семейства ведут себя одинаково, но тогда <tex>\Delta(A,X^L) = 1 = \Phi^0_L</tex>. Если же <tex>h = L - 1</tex>, то лемма справедлива в силу оценки <tex>\Delta^A(L) \leq 2^L = \Phi^L_L</tex>. | ||
- | Теперь предположим, что лемма верна для некоторого <tex>L</tex> и всех <tex>h'\leq h</tex>, докажем, что тогда она выполняется для <tex>L + 1</tex> и <tex>h</tex>. Рассмотрим произвольное семейство алгоритмов. Пусть для некоторой выборки <tex>X^{L + 1}</tex> справедливо <tex>\forall\,X^{h + 1}\subseteq X^{L + 1}\ \Delta(A, X^{h + 1})\,<\,2^{h + 1}</tex>. Разобъем <tex>X^{L + 1}</tex> на две части: <tex>X^{L + 1} = X^L\,\cup\,\{x_{\tiny L + 1}\}</tex>. Будем обозначать за <tex>\mathscr{A}(A, X^K)</tex> множество [[Коэффициент разнообразия | карт ошибок]] семейства алгоритмов <tex>A</tex> на выборке <tex>X^K:\ \mathscr{A}(A, X^K) = \{\,\tilde a(a,X^K)\::\:a\in A\,\}</tex>. Рассмотрим множества <tex>\mathscr{A}_1 = \mathscr{A}(A, X^{L + 1})</tex> и <tex>\mathscr{A}_2 = \mathscr{A}(A, X^L)</tex>. Сопоставим каждому элементу из <tex>\mathscr{A}_1</tex> его сужение на <tex>X^L</tex>. За <tex>\mathscr{A}'</tex> обозначим совокупность тех карт из <tex>\mathscr{A}_2</tex>, которые | + | Теперь предположим, что лемма верна для некоторого <tex>L</tex> и всех <tex>h'\leq h, 1\leq h\leq L-1</tex>, докажем, что тогда она выполняется для <tex>L + 1</tex> и <tex>h</tex>. Рассмотрим произвольное семейство алгоритмов. Пусть для некоторой выборки <tex>X^{L + 1}</tex> справедливо <tex>\forall\,X^{h + 1}\subseteq X^{L + 1}\ \Delta(A, X^{h + 1})\,<\,2^{h + 1}\ (*)</tex>. Разобъем <tex>X^{L + 1}</tex> на две части: <tex>X^{L + 1} = X^L\,\cup\,\{x_{\tiny L + 1}\}</tex>. Будем обозначать за <tex>\mathscr{A}(A, X^K)</tex> множество [[Коэффициент разнообразия | карт ошибок]] семейства алгоритмов <tex>A</tex> на выборке <tex>X^K:\ \mathscr{A}(A, X^K) = \{\,\tilde a(a,X^K)\::\:a\in A\,\}</tex>. Рассмотрим множества <tex>\mathscr{A}_1 = \mathscr{A}(A, X^{L + 1})</tex> и <tex>\mathscr{A}_2 = \mathscr{A}(A, X^L)</tex>. Сопоставим каждому элементу из <tex>\mathscr{A}_1</tex> его сужение на <tex>X^L</tex>. За <tex>\mathscr{A}'</tex> обозначим совокупность тех карт из <tex>\mathscr{A}_2</tex>, которые соответствуют двум элементам множества <tex>\mathscr{A}_1</tex>. Каждый из оставшихся элементов <tex>\mathscr{A}_2</tex> имеет ровно один прообраз, их совокупность обозначим за <tex>\mathscr{A}''</tex>. |
+ | |||
+ | :<tex>|\mathscr{A}_1| = 2|\mathscr{A}'| + |\mathscr{A}''| = \Delta(A, X^L) + |\mathscr{A}'|</tex>. | ||
+ | |||
+ | Докажем, что для совокупности алгоритмов <tex>A' = \{a\in A\ \mid\ \tilde a(a,X^L)\in\mathscr{A}'\}</tex>, <tex>X^L</tex> и <tex>h - 1</tex> выполнена левая часть импликации из формулировки леммы. Предположим, что это не так, т.е. <tex>\exists\ X^h\subseteq X^L\::\:\Delta(A', X^h) = 2^h</tex>. Тогда для выборки <tex>X^h \cup \{x_{\tiny L + 1}\} = X^{h + 1} \subseteq X^{L + 1}</tex> выполняется <tex>\Delta(A, X^{h + 1}) = 2^{h + 1}</tex>, что протеворечит условию <tex>(*)</tex>. Итак <tex>\forall\,X^h\subseteq X^{L + 1}\ \Delta(A', X^h)\,<\,2^h</tex>. Отсюда по предположению индукции: <tex>\Delta(A', X^L)\leq \Phi^{h - 1}_L</tex>. | ||
+ | |||
+ | Далее, учитывая, что любая выборка длины <tex>h + 1</tex> из <tex>X^L</tex> является и выборкой длины <tex>h + 1</tex> из <tex>X^{L + 1}</tex>, принимая во внимание условие <tex>(*)</tex> и предположение индукции, получим <tex>\Delta(A, X^L)\leq \Phi^h_L</tex>. | ||
+ | Окончательно:<br> | ||
+ | :<tex>\Delta(A, X^{L + 1}) = |\mathscr{A}_1| = \Delta(A, X^L) + |\mathscr{A}'| = \Delta(A, X^L) + \Delta(A', X^L) \leq \Phi^h_L + \Phi^{h - 1}_L = \Phi^h_{L + 1}</tex>. | ||
+ | |||
+ | Лемма доказана. | ||
+ | |||
+ | '''Доказательство теоремы'''. Пусть для некоторого <tex>L\ \Delta^A(L)\,<\,2^L</tex>. Тогда для любой подвыборки <tex>X^L</tex> произвольной выборки <tex>X^l,\,l\,>\,L,\;\Delta(A, X^L)\,<\,2^L</tex>. Отсюда по лемме Вапника-Червоненкиса <tex>\Delta(A, X^l)\leq \Phi^L_l\;\forall X^l</tex>. Следовательно, <tex>\Delta^A(l)\leq\Phi^L_l</tex>, из чего следует доказываемое утверждение. | ||
[[Категория|Учебные материалы]] | [[Категория|Учебные материалы]] |
Текущая версия
Определение
Пусть и - множества произвольной природы. Будем называть множеством объектов, а - множеством ответов. За обозначим L-элементную выборку из , т.е. подмножество , мощность которого равна .
Определение. Функцией роста семейства алгоритмов называется функция:
- , где - коэффициент разнообразия семейства на выборке .
Оценки функции роста
Поскольку для любого семейства алгоритмов и любой выборки длины L, . Более детально поведение функции роста описывается следующей теоремой:
Теорема. Для функции роста произвольного семейства алгоритмов есть ровно две возможности:
Эту теорему можно доказать, опираясь на лемму Вапника - Червоненкиса:
Лемма. выполнено:
- для любой выборки .
Доказательство леммы. Сначала докажем лемму для и . В случае выполнение левой части импликации из условия леммы означает, что на произвольном элементе выборки все алгоритмы семейства ведут себя одинаково, но тогда . Если же , то лемма справедлива в силу оценки .
Теперь предположим, что лемма верна для некоторого и всех , докажем, что тогда она выполняется для и . Рассмотрим произвольное семейство алгоритмов. Пусть для некоторой выборки справедливо . Разобъем на две части: . Будем обозначать за множество карт ошибок семейства алгоритмов на выборке . Рассмотрим множества и . Сопоставим каждому элементу из его сужение на . За обозначим совокупность тех карт из , которые соответствуют двум элементам множества . Каждый из оставшихся элементов имеет ровно один прообраз, их совокупность обозначим за .
- .
Докажем, что для совокупности алгоритмов , и выполнена левая часть импликации из формулировки леммы. Предположим, что это не так, т.е. . Тогда для выборки выполняется , что протеворечит условию . Итак . Отсюда по предположению индукции: .
Далее, учитывая, что любая выборка длины из является и выборкой длины из , принимая во внимание условие и предположение индукции, получим .
Окончательно:
- .
Лемма доказана.
Доказательство теоремы. Пусть для некоторого . Тогда для любой подвыборки произвольной выборки . Отсюда по лемме Вапника-Червоненкиса . Следовательно, , из чего следует доказываемое утверждение.