Метод потенциальных функций

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 00:50, 5 января 2010

Метод потенциальных функций - метрический классификатор, частный случай метода ближайших соседей. Позволяет с помощью простого алгоритма оценивать вес («важность») объектов обучающей выборки при решении задачи классификации.

Постановка задачи классификации

Приведём краткую постановку задачи классификации в общем виде.

Пусть имеется пространство объектов $X$ и конечное множество классов $Y$ . На множестве $X$ задана функция расстояния $\rho: X \times X \to [0, + \infty]$ . Каждый объект из $X$ относится к некоторому классу из $Y$ посредством отображения $y^*:~X \to Y,$ .

Пусть также задана обучающая выборка пар «объект—ответ»: $X^m = \{(x_1,y_1),\dots,(x_m,y_m)\} \subseteq X \times Y$ .

Требуется построить алгоритм $a(u,X^l)$ , который по заданной выборке $X^l$ аппроксимирует отображение $y^*(u)$ .

Идея метода

Общая идея метода иллюстрируется на примере электростатического взаимодействия элементарных частиц. Известно, что потенциал («мера воздействия») электрического поля элементарной заряженной частицы в некоторой точке пространства пропорционален отношению заряда частицы (Q) к расстоянию до частицы (r): $\varphi(r) \sim \frac{Q}{r}$ .

Метод потенциальных функций реализует полную аналогию указанного выше примера. При классификации объект проверяется на близость к объектам из обучающей выборки. Считается, что объекты из обучающей выборки «заряжены» своим классом, а мера «важности» каждого из них при классификации зависит от его «заряда» и расстояния до классифицируемого объекта.

Основная формула

Перенумеруем объекты обучающей выборки $x_i \in X^l$ относительно удаления от объекта $u$ индексами $x_u^{p}$ ( $p=\overline{1,l}$ ) – то есть таким образом, что $\rho(u,x_u^{(1)}) \leq \rho(u,x_u^{(2)}) \leq \dots \leq \rho(u,x_u^{(l)})$ .

В общем виде, алгоритм ближайших соседей есть:

$a(u) = \mathrm{arg}\max_{y\in Y} \sum_{i=1}^m \bigl[ x_{i; u}=y \bigr] w(i,u)$ , где $w(i,u)$ – мера «важности» (вес) объекта $x_u^{(i)}$ из обучающей выборки относительно классифицируемого объекта $u$ .

Метод потенциальных функций заключается в выборе в качестве $w(i,u)$ весовой функции следующего вида:

$w(i,u)=\gamma(x_u^{(i)}) K \left(\frac{\rho(u,x_u{(i)})}{h(x_u{(i)})}\right)$ , где

$K(r) = \frac{1}{r+a}$ – функция, убывающая с ростом аргумента. Константа $a$ нужна чтобы избежать проблем с делением на ноль. Для простоты обычно полагают $a=1$ .

$\rho(u,x_u{(i)})$ – расстояние от объекта u до i-того ближайшего к u объекта – $x_u^{(i)}$ .

$h(x_u{(i)})$ – параметр. Общий смысл – «ширина потенциала» объекта $x_i \in X^l$ , $\left(i=\overline{1,l}\right)$ . Вводится по аналогии с шириной окна в методе парзеновского окна.

$\gamma(x_u^{(i)})$ – параметр. Общий смысл – «заряд» или степень «важности» объекта $x_i \in X^l$ , $\left(i=\overline{1,l}\right)$ при классификации;

Выбор параметров

Как мы уже заметили, в основной формуле метода потенциальных функций используются две группы параметров: $\{h(x_i)\}$ и $\{\gamma(x_i)\}$ .

«Ширина окна потенциала» $h(x_i)$ выбирается для каждого объекта из эмпирических соображений.

«Важность» $\gamma(x_i)$ объектов выборки можно подобрать, исходя из информации, содержащейся в выборке. Ниже приведён алгоритм, который позволяет «обучать» параметры $(\gamma(x_1), \dots, \gamma(x_n))$ , то есть подбирать их значения по обучающей выборке $X^l$ .

Вход: Обучающая выборка из  пар «объект-ответ» – . 

Выход: Значения параметров  для всех   
 

1.   Начало. Инициализация:  для всех ; 

2.   Повторять {

   2.1   Выбрать очередной объект  из выборки ;

   2.2   Если , то ;

3.   } пока  (то есть пока процесс не стабилизируется);

4. Вернуть значения  для всех .

Преимущества и недостатки

Преимущества метода потенциальных функций:

Метод прост для понимания и алгоритмической реализации;
Порождает потоковый алгоритм;
Хранит лишь часть выборки, следовательно, экономит память.

Недостатки метода:

Порождаемый алгоритм медленно сходится;
Параметры $\{\gamma_i\}$ и $\{h_i\}$ настраиваются слишком грубо;
Значения параметров $(\gamma_1,\dots,\gamma_l)$ зависят от порядка выбора объектов из выборки $X^l$ .

Замечания

Полученные в результате работы алгоритма значения параметров $(\gamma_1,\dots,\gamma_l)$ позволяют выделить из обучающей выборки подмножество эталонов – наиболее значимых с точки зрения классификации объектов. Как нетрудно видеть, теоретически на роль эталона подходит любой объект $x_i$ с ненулевой «значимостью» $\left(\gamma_i>0 \right)$ .

См. также

Данная статья является непроверенным учебным заданием.

Студент: Участник:osa

Преподаватель: Участник:Константин Воронцов

Срок: 25 января 2010

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9»

Категория: Непроверенные учебные задания

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-{{Задание|osa|Константин Воронцов|25 января 2010}}
+'''Метод потенциальных функций''' - [[метрический классификатор]], частный случай [[Метод ближайших соседей|метода ближайших соседей]]. Позволяет с помощью простого алгоритма оценивать вес («важность») объектов [[Выборка|обучающей выборки]] при решении задачи [[классификация|классификации]].
-'''Метод потенциальных функций''' - [[метрический классификатор]], частный случай [[Метод ближайших соседей|метода ближайших соседей]]. Позволяет с помощью простого алгоритма оценивать вес («важность») объектов [[Выборка|обучающей выборки]] при решении задачи классификации.
-== Введение ==
+== Постановка задачи классификации ==
-Общая идея метода иллюстрируется на примере электростатического взаимодействия элементарных частиц. Известно, что потенциал («мера воздействия») электрического поля элементарной заряженной частицы в некоторой точке пространства пропорционален отношению ''заряда'' частицы (Q) к расстоянию до частицы (r): <tex>\varphi(r) \sim \frac{Q}{r}</tex>.
+Приведём краткую [[задача классификации|постановку задачи классификации]] в общем виде.
+Пусть имеется пространство объектов <tex>X</tex> и конечное множество классов <tex>Y</tex>. На множестве <tex>X</tex> задана функция расстояния <tex>\rho: X \times X \to [0, + \infty]</tex>. Каждый объект из <tex>X</tex> относится к некоторому классу из <tex>Y</tex> посредством отображения <tex>y^*:~X \to Y, </tex>.
+Пусть также задана [[обучающая выборка]] пар «объект—ответ»:
+<tex>X^m = \{(x_1,y_1),\dots,(x_m,y_m)\} \subseteq X \times Y</tex>.
+Требуется построить [[алгоритм]] <tex>a(u,X^l)</tex>, который по заданной выборке <tex>X^l</tex> [[аппроксимация|аппроксимирует]] отображение <tex>y^*(u)</tex>.
-== Основная формула ==
-Пусть имеется пространство объектов <tex>X</tex> с заданной метрикой <tex>\rho: X \times X \to R</tex> и множество ответов <tex>Y</tex>.
-Пусть задана [[обучающая выборка]] пар «объект—ответ»
-<tex>X^m = \{(x_1,y_1),\dots,(x_m,y_m)\} \subseteq X \times Y</tex>.
-Пусть также имеется классифицируемый объект <tex>u \in X</tex>.
+== Идея метода ==
+Общая идея метода иллюстрируется на примере электростатического взаимодействия элементарных частиц. Известно, что потенциал («мера воздействия») электрического поля элементарной заряженной частицы в некоторой точке пространства пропорционален отношению ''заряда'' частицы (Q) к расстоянию до частицы (r): <tex>\varphi(r) \sim \frac{Q}{r}</tex>.
+Метод потенциальных функций реализует полную аналогию указанного выше примера. При классификации объект проверяется на близость к объектам из обучающей выборки. Считается, что объекты из [[выборка|обучающей выборки]] «заряжены» своим классом, а мера «важности» каждого из них при [[классификация|классификации]] зависит от его «заряда» и расстояния до классифицируемого объекта.
+== Основная формула ==
 Перенумеруем объекты обучающей выборки <tex>x_i \in X^l</tex> относительно удаления от объекта <tex>u</tex> индексами <tex>x_u^{p}</tex> (<tex>p=\overline{1,l}</tex>) – то есть таким образом, что <tex>\rho(u,x_u^{(1)}) \leq \rho(u,x_u^{(2)}) \leq \dots \leq \rho(u,x_u^{(l)})</tex>.
@@ Строка 25: / Строка 31: @@
 :: <tex>w(i,u)=\gamma(x_u^{(i)}) K \left(\frac{\rho(u,x_u{(i)})}{h(x_u{(i)})}\right)</tex>, где
-* <tex>K(r) = \frac{1}{r+a}</tex>. Константа <tex>a</tex> нужна чтобы избежать проблем с делением на ноль. Для простоты обычно полагают <tex>a=1</tex>.
+* <tex>K(r) = \frac{1}{r+a}</tex> – функция, убывающая с ростом аргумента. Константа <tex>a</tex> нужна чтобы избежать проблем с делением на ноль. Для простоты обычно полагают <tex>a=1</tex>.
 * <tex>\rho(u,x_u{(i)})</tex> – расстояние от объекта u до i-того ближайшего к u объекта – <tex>x_u^{(i)}</tex>.
-* <tex>\gamma(x_u^{(i)})</tex> – параметр. Общий смысл – «заряд» объекта <tex>x_i \in X^l</tex>, <tex>i=\overline{1,l}</tex>;
+* <tex>h(x_u{(i)})</tex> – параметр. Общий смысл – «ширина потенциала» объекта <tex>x_i \in X^l</tex>, <tex>\left(i=\overline{1,l}\right)</tex>. Вводится по аналогии с шириной окна в [[Метод парзеновского окна|методе парзеновского окна]].
-* <tex>h(x_u{(i)})</tex> – параметр. Общий смысл – «ширина потенциала» объекта <tex>x_i \in X^l</tex>, <tex>i=\overline{1,l}</tex>. Вводится по аналогии с шириной окна в [[Метод парзеновского окна|методе парзеновского окна]].
+* <tex>\gamma(x_u^{(i)})</tex> – параметр. Общий смысл – «заряд» или степень «важности» объекта <tex>x_i \in X^l</tex>, <tex>\left(i=\overline{1,l}\right)</tex> при классификации;
 == Выбор параметров ==
-Как мы уже заметили, в основной формуле метода потенциальных функций используются две группы параметров: <tex>\{\gamma(x_i)\}</tex> и <tex>\{h(x_i)\}</tex>.
+Как мы уже заметили, в основной формуле метода потенциальных функций используются две группы параметров: <tex>\{h(x_i)\}</tex> и <tex>\{\gamma(x_i)\}</tex>.
-Ниже приведён алгоритм, который позволяет «обучать» параметры <tex>(\gamma(x_1), \dots, \gamma(x_n))</tex>, то есть подбирать их значения по обучающей выборке <tex>X^l</tex>.
+«Ширина окна потенциала» <tex>h(x_i)</tex> выбирается для каждого объекта из эмпирических соображений.
+«Важность» <tex>\gamma(x_i)</tex> объектов выборки можно подобрать, исходя из информации, содержащейся в выборке. Ниже приведён алгоритм, который позволяет «обучать» параметры <tex>(\gamma(x_1), \dots, \gamma(x_n))</tex>, то есть подбирать их значения по обучающей выборке <tex>X^l</tex>.
  Вход: Обучающая выборка из <tex>l</tex> пар «объект-ответ» – <tex>X^l=\left((x_1,y_1), \dots, (x_l,y_l) \right)</tex>. <br />
@@ Строка 61: / Строка 69: @@
 * Параметры <tex>\{\gamma_i\}</tex> и <tex>\{h_i\}</tex> настраиваются слишком грубо;
 * Значения параметров <tex>(\gamma_1,\dots,\gamma_l)</tex> зависят от порядка выбора объектов из выборки <tex>X^l</tex>.
+== Замечания ==
+Полученные в результате работы алгоритма значения параметров <tex>(\gamma_1,\dots,\gamma_l)</tex> позволяют выделить из обучающей выборки подмножество [[эталон|эталонов]] – наиболее значимых с точки зрения классификации объектов. Как нетрудно видеть, теоретически на роль эталона подходит любой объект <tex>x_i</tex> с ненулевой «значимостью» <tex>\left(\gamma_i>0 \right)</tex>.
+== См. также ==
+* [[Классификация]]
+* [[Метрический классификатор]]
+* [[Метод ближайших соседей]]
+* [[Метод парзеновского окна]]
+{{Задание|osa|Константин Воронцов|25 января 2010}}

Метод потенциальных функций

Материал из MachineLearning.

Версия 00:50, 5 января 2010

Содержание

Постановка задачи классификации

Идея метода

Основная формула

Выбор параметров

Преимущества и недостатки

Замечания

См. также

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты