Аппроксимация Лапласа (пример)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 00:00, 24 ноября 2010

Аппроксимация Лапласа - способ оценки параметров нахождения нормального распределения при апроксимации заданой плотности вероятности.

Содержание

1 Сэмплирование
2 Постановка задачи
3 Описание алгоритма
4 Вычислительный эксперимент
- 4.1 Пример 1
5 Смотри также
6 Литература
7 Примечания

Сэмплирование

Сэмплирование – метод выбора подмножества наблюдаемых величин из данного множества, с целью выделения неких свойст исходного множества. Одно из основных приминений методов сэмплирования заключается в оценке математического ожидания сложных вероятностных распределений:

$E[f]=\int f(z)p(z) dz$

для которых данный инеграл не может быть подсчитан аналитическим методом (к примеру, ввиду сложного аналитического вида распределения $p(z)$ ). Однако, можно подсчитать значение p(z) в любой точке z. Основная идея заключается в создании незавсимой выборки $z^{(l)}$ (где $l=1,...,L$ ) из распределения $p(z)$ . Это позволит оцениваемое математическое ожидание приблизить конечной суммой:

$\hat f=\frac{1}{L}\sum_{l=1}^{L} f(z^{(l)})$

Существует несколько методов сэмплирования для создания выборки $z^{(l)}$ ^[1]:

Simple random sampling;
Systematic sampling;
Rejection sampling;
Adaptive rejection sampling.

Постановка задачи

Задана выборка — множество $X^N=\{{x}_1,\ldots,{x}_N|x\in\R^M\}$ значений свободных переменных и множество $\{y_1,\ldots, y_N| y\in\R\}$ соответствующих им значений зависимой переменной. Необходимо для выбранной регрессионной модели $f(w,x)$ :

показать зависимость среднеквадратичной ошибки от значений параметров модели: $SSE=SSE(w)$ ;
построить график и сделать апроксимацию Лапласа для нее;
найти расстояния между получеными зависимостями, используя расстояние Кульбака - Лейблера.

Описание алгоритма

При востановлении регрессии рассматривалась следующая гипотеза порождения данных:

$y=f(x,w)$

В таком случае, при фиксированной модели f плотность вероятности появления данных равняется^[1]:

$p(y|x,w)=\frac{1}{Z_D}exp(-E_D)$ , где

$E_D$ - это функция регрессионных невязок, т.е. $SSE$ ;

$Z_D$ - нормировачный коэффициент.

В заданной модели f, используя метод наименьших квадратов, находим оптимальное значение вектора параметров $\mathcal w_{opt}$ . Далее, фиксируем все параметры выбранной регрессионной модели (для определенности зададим им оптимальные значения) кроме одного (пусть этот незафиксированный параметр будет w(1)). После чего, варируя значение w(1), строим искомую зависимость $SSE=SSE(w(1))$ и его график. Таким образом построена зависимость от одного параметра w(1). Аналогично действуя, строится зависимость от большего количества параметров.
При построении апроксимации Лапласса вначале рассмотрим одномерный случай. Пусть есть распределение p(z):

$p(z)=\frac{1}{Z}f(z)$ , где

$Z=\int f(z)dz$ - нормировочный коэффициент.

Первый шаг при построении апроксимации Лапласса, нахождение максимума, т.е. такого $z_0$ , что $p'(z_0)=0$ . Далее, раскладываем $lnf(z)$ в ряд Тейлора в окресности $z_0$ :

$lnf(z)=lnf(z_0)-\frac{1}{2}A(z-z_0)^2$

где

$A=-\frac{d^2}{dz^2}lnf(z)|_{z=z_0}$ .

Тогда

$f(z)=f(z_0)exp(-\frac{A}{2}(z-z_0)^2)$ .

Апроксимация Лапласса примет вид:

$q(z)=(\frac{A}{2 pi})^{1/2}exp(-\frac{A}{2}(z-z_0)^2)$ .

В многомерном случае (размерности M), аналогично действуя, придем к:

$q(z)=(\frac{|A|}{(2 pi)^M})^{1/2}exp(-\frac{1}{2}(z-z_0)^T A (z-z_0))$ .

где A Гаусиан, размера M x M, равный:

$A=-\nabla \nabla lnf(z)|_{z=z_0}$ ;

$z$ и $z_0$ есть вектора размерности M.

Расстояние Кульбака - Лейблера:

$D_{kl}(p,q)=\sum\limits_{x\in \mathcal{X}} p(x) \ln \frac{p(x)}{q(x)}$

Вычислительный эксперимент

Обозначим плоность распределения SSE как $p_{SSE}$ , а его апроксимация лапласса $p_{lap}$ .

Однако, во время вычислительного эксперимента SSE принимало достаточно большие значения (порядка $10^3 - 10^4$ ). Как следствие, p(y|x,w) принимало значения порядка 1, и апроксимация Лапласса была некоректной. Поэтому, апроксимация Лапласса применялась не к самому распределению p(y|x,w), а к ln(p(y|x,w)) (т.е. к -SSE c точностью до коэффициента).

Пример 1

Задуманная функция $y=x + sin3x$ . Берем линейную регрессионную модель с двумя параметрами: $y(x)=w_1+w_2x$ . Используя метод наименьших квадратов находим оптимальное значение $w_1_{opt}$ и $w_2_{opt}$ (при которых SSE минимально).

При фиксированном $w_1=w_1_{opt}$ задаем различные значение $w_2$ (500 случайных значений на отрезке [-1;2]) и строим зависимость:

$D_{kl}(p_{SSE},p_{lap})=0.0085$ .

Повторим эксперимент, только теперь варируем сразу оба параметра $w_1$ и $w_2$ :

Рис. 1. Зависимость $- SSE$ от $w_1$ и $w_2$

Рис. 2. Зависимость от и . Ось log(p) направлена вверх

Рис. 2. Зависимость $- SSE$ от $w_1$ и $w_2$ . Ось log(p) направлена вверх

апроксимация Лапласса:

Laplace approximation

$D_{kl}(p_{SSE},p_{lap})=1.2481$

На рис.2 наблюдается зависимость между коэффициентами $w_1$ и $w_2$ . Следовательно, ковариационная матрица $cov(w_1,w_2)$ не будет диагональной.

Смотри также

Литература

Bishop, C. Pattern Recognition And Machine Learning. Springer. 2006.

Примечания

Данная статья является непроверенным учебным заданием.

Студент: Евгений Зайцев

Преподаватель: В.В.Стрижов

Срок: 24 декабря 2010

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BF%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%9B%D0%B0%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%B0_%28%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%29»

Категории: Непроверенные учебные задания | Практика и вычислительные эксперименты

@@ Строка 52: / Строка 52: @@
 <center><tex>q(z)=(\frac{A}{2 pi})^{1/2}exp(-\frac{A}{2}(z-z_0)^2)</tex>.</center>
-Расстояние Кульбака - Лейблера:
+В многомерном случае (размерности ''M''), аналогично действуя, придем к:
+<center><tex>q(z)=(\frac{|A|}{(2 pi)^M})^{1/2}exp(-\frac{1}{2}(z-z_0)^T A (z-z_0))</tex>.</center>
+где '''''A''''' Гаусиан, размера ''M x M'', равный:
+<center><tex>A=-\nabla \nabla lnf(z)|_{z=z_0}</tex>;</center>
+<tex>z</tex> и <tex>z_0</tex> есть вектора размерности ''M''.
+# Расстояние Кульбака - Лейблера:
 <center> <tex>D_{kl}(p,q)=\sum\limits_{x\in \mathcal{X}} p(x) \ln \frac{p(x)}{q(x)}</tex></center>