Байесовские методы машинного обучения (курс лекций, Д.П. Ветров, Д.А. Кропотов)/2011/Задание 2
Материал из MachineLearning.
(Различия между версиями)
(Новая: {{stop|Внимание! Текст задания находится в стадии формирования. Убедительная просьба не приступать к вы...) |
|||
Строка 7: | Строка 7: | ||
'''Начало выполнения задания''': 19 октября 2011 г.<br> | '''Начало выполнения задания''': 19 октября 2011 г.<br> | ||
'''Срок сдачи''': {{важно|2 ноября 2011 г. (среда), 23:59.}} | '''Срок сдачи''': {{важно|2 ноября 2011 г. (среда), 23:59.}} | ||
+ | |||
+ | Целью задания является приобретение студентами навыков в матричных вычислениях. Задание состоит из трех вариантов. Распределение студентов по вариантам сохраняется с [[Байесовские методы машинного обучения (курс лекций, Д.П. Ветров, Д.А. Кропотов)/2011/Задание 1#Распределение студентов по вариантам|предыдущего задания]]. | ||
+ | |||
+ | == Вариант 1 == | ||
+ | # Доказать, что <tex>\frac{\partial}{\partial A}tr(ABAC) = C^TA^TB^T + B^TA^TC^T</tex>. | ||
+ | # Вычислить <tex>\mathbb{E}_{\mathcal{N}(\vec{x}|\vec{\mu},\Sigma)}(\vec{x}-\vec{a})^TB(\vec{x}-\vec{a}) = \int(\vec{x}-\vec{a})^TB(\vec{x}-\vec{a})\mathcal{N}(\vec{x}|\vec{\mu},\Sigma)d\vec{x}</tex>. | ||
+ | # Пусть <tex>p(\vec{x})=\mathcal{N}(\vec{x}|\vec{\mu},\Sigma),\ p(\vec{y}|\vec{x})=\mathcal{N}(\vec{y}|A\vec{x},\Gamma)</tex>. Доказать, что <tex>p(\vec{y})=\mathcal{N}(\vec{y}|A\vec{\mu},\Gamma+A\Sigma A^T)</tex>. | ||
+ | |||
+ | == Вариант 2 == | ||
+ | # Доказать, что <tex>\frac{\partial}{\partial x}A^{-1} = -A^{-1}\frac{\partial A}{\partial x}A^{-1}</tex>. Здесь <tex>x</tex> — скалярная переменная. | ||
+ | # Доказать тождество Вудберри: <tex>(A+UCV)^{-1}=A^{-1} - A^{-1}U(C^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}</tex>. Здесь <tex>U, V</tex> — прямоугольные матрицы. ''Подсказка: для доказательства достаточно просто перемножить две матрицы и убедиться, что их произведение равно единичной матрице.'' | ||
+ | # Пусть <tex>\vec{x}=[\vec{x}_a; \vec{x}_b]</tex> и <tex>p(\vec{x})=\mathcal{N}(\vec{x}|\vec{\mu},\Sigma)</tex>. Доказать, что <tex>p(\vec{x}_a|\vec{x}_b)=\mathcal{N}(\vec{x}_a|\vec{\mu}_a-\Lambda_{aa}^{-1}\Lambda_{ab}(\vec{x}_b-\vec{\mu}_b),\Lambda_{aa}^{-1})</tex>. | ||
+ | |||
+ | == Вариант 3 == | ||
+ | |||
+ | == Оформление задания == |
Версия 18:27, 19 октября 2011
Внимание! Текст задания находится в стадии формирования. Убедительная просьба не приступать к выполнению задания до тех пор, пока это предупреждение не будет удалено. |
Содержание |
Начало выполнения задания: 19 октября 2011 г.
Срок сдачи: 2 ноября 2011 г. (среда), 23:59.
Целью задания является приобретение студентами навыков в матричных вычислениях. Задание состоит из трех вариантов. Распределение студентов по вариантам сохраняется с предыдущего задания.
Вариант 1
- Доказать, что .
- Вычислить .
- Пусть . Доказать, что .
Вариант 2
- Доказать, что . Здесь — скалярная переменная.
- Доказать тождество Вудберри: . Здесь — прямоугольные матрицы. Подсказка: для доказательства достаточно просто перемножить две матрицы и убедиться, что их произведение равно единичной матрице.
- Пусть и . Доказать, что .