Участник:Gukov/Песочница
Материал из MachineLearning.
(→Список литературы) |
(→Числовой пример) |
||
Строка 90: | Строка 90: | ||
== Числовой пример == | == Числовой пример == | ||
+ | |||
+ | Найдем с помощью квадратурной формулы трапеций приближенное значение интеграла, применив экстраполяцию Ричардсона (данный метод называется <i>методом Ромберга</i>): | ||
+ | |||
+ | :<tex>\int^{5}_{1} \ln x\, dx = x \ln x - x |_1^{5} = 5\ln 5 - 4</tex> | ||
+ | |||
+ | В нижеследующей таблице представлены результаты работы программы: | ||
+ | {|border = '1' | ||
+ | |r | ||
+ | |Исходная формула | ||
+ | |1 раз | ||
+ | |3 раза | ||
+ | |- | ||
+ | |2 | ||
+ | |1.609438 | ||
+ | |2.925492 | ||
+ | |3.92582 | ||
+ | |- | ||
+ | |4 | ||
+ | |2.256648 | ||
+ | |3.506035 | ||
+ | |3.987405 | ||
+ | |- | ||
+ | |8 | ||
+ | |3.278646 | ||
+ | |3.778845 | ||
+ | |4.017368 | ||
+ | |- | ||
+ | |16 | ||
+ | |3.653497 | ||
+ | |3.913012 | ||
+ | |4.032286 | ||
+ | |- | ||
+ | |32 | ||
+ | |3.848134 | ||
+ | |3.980123 | ||
+ | |4.039738 | ||
+ | |- | ||
+ | |64 | ||
+ | |3.947125 | ||
+ | |4.013659 | ||
+ | |4.043464 | ||
+ | |- | ||
+ | |128 | ||
+ | |3.997025 | ||
+ | |4.030424 | ||
+ | |4.045327 | ||
+ | |- | ||
+ | |256 | ||
+ | |4.022075 | ||
+ | |4.03880706 | ||
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | |512 | ||
+ | |4.034624 | ||
+ | |4.042998 | ||
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | |1024 | ||
+ | |4.040904 | ||
+ | | | ||
+ | | | ||
+ | |} | ||
== Рекомендации программисту == | == Рекомендации программисту == |
Версия 21:09, 19 октября 2008
Содержание |
Введение
Постановка математической задачи
Задача численного интегрирования состоит в приближенном нахождении значения интеграла
где - заданная и интегрируемая на функция. В качестве приближенного значения рассматривается число
где - числовые коэффициенты и - точки отрезка , . Приближенное равенство
называется квадратурной формулой, а сумма вида (2) - квадартурной суммой. Точки называются узлами квадратурной формулы. Разность
называется погрешностью квадратурной формулы. Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора коэффициентов.
Изложение метода
Общие сведения
Предположим, что для вычисления интеграла (1) отрезок разбит на равных отрезков длины и на каждом частичном отрезке применяется одна и та жа квадратурная формула. Тогда исходный интеграл заменяется некоторой квадратурной суммой , причем возникающая погрешность зависит от шага сетки . Для некоторых квадратурных формул удается получить разложение погрешности по степеням . Предположим, что для данной квадратурной суммы существует разложение:
- ,
где и коэффициенты не зависят от . При этом величины предполагаются известными. Теперь предположим:
Чтобы избавиться от степени , составляющей ошибку (ибо среди всех слагаемых, составляющих ошибку, слагамое при является наибольшим) вычислим величину . Имеем:
Отсюда
то есть имеем более точное приближение к интегралу .
Таким образом, рекуррентную формулу можно записать в виде:
Заметим, что - величина, на которую мы делим размер шага при каждом новом вычислении . Разумно положить , т.к. большие значения могут вызвать резкое увеличение количества вычислений.
Для наглядности представим процесс экстраполирования следующей таблицей:
О сходимости
Числовой пример
Найдем с помощью квадратурной формулы трапеций приближенное значение интеграла, применив экстраполяцию Ричардсона (данный метод называется методом Ромберга):
В нижеследующей таблице представлены результаты работы программы:
r | Исходная формула | 1 раз | 3 раза |
2 | 1.609438 | 2.925492 | 3.92582 |
4 | 2.256648 | 3.506035 | 3.987405 |
8 | 3.278646 | 3.778845 | 4.017368 |
16 | 3.653497 | 3.913012 | 4.032286 |
32 | 3.848134 | 3.980123 | 4.039738 |
64 | 3.947125 | 4.013659 | 4.043464 |
128 | 3.997025 | 4.030424 | 4.045327 |
256 | 4.022075 | 4.03880706 | |
512 | 4.034624 | 4.042998 | |
1024 | 4.040904 |
Рекомендации программисту
Заключение
Список литературы
- А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы М.: Наука, 1989.
- Fundamental Methods of Numerical Extrapolation With Applications, mit.edu