Тригонометрическая интерполяция
Материал из MachineLearning.
м (викификация, категория, орфография) |
(→Пример использования) |
||
| Строка 44: | Строка 44: | ||
<tex> | <tex> | ||
a_m= \frac{2}{2n+1} \sum_{j=-n}^n y_j \cos \left( \frac{2\pi jm}{2n+1} \right),\quad b_m= \frac{2}{2n+1} \sum_{j=-n}^n y_j \sin \left(\frac{2\pi jm}{2n+1} \right) </tex> | a_m= \frac{2}{2n+1} \sum_{j=-n}^n y_j \cos \left( \frac{2\pi jm}{2n+1} \right),\quad b_m= \frac{2}{2n+1} \sum_{j=-n}^n y_j \sin \left(\frac{2\pi jm}{2n+1} \right) </tex> | ||
| + | |||
| + | Если интерполировать тригонометические функции и выбирать правильное число узлов, то погрешность приближается к нулю. Интересно рассмотреть функции, не являющиеся тригонометрическими, но обладающие периодом. | ||
==Погрешность вычислений== | ==Погрешность вычислений== | ||
Версия 18:12, 20 октября 2008
Содержание |
Дискретное преобразование Фурье
В прикладных задачах часто используются различные преобразования Фурье функций непрерывного аргумента, а также представлений функций с помощью сходящихся тригонометрических рядов.
Всякую непрерывно дифференцируемую функцию можно разложить в ряд Фурье:
коэффициенты находятся по следующим формулам
Но как правила функция задана только в некоторых точках или у нас есть возможность узнать её значения только в некотором конечном числе точек. Допустим, .В этом случае аналогом функции непрерывной интерполяции функции будет дискретный вариант:
Разложение имеет место когда функцию можно приблизить тригонометрическим многочленом следующего вида в заданных нам точках
Система функций является ортогональной, на множестве точек
при том что
, таким образом разложение имеет место и коэффициенты
представляются в виде:
Далее для удобства записи будем использовать
Часто используется следующий вид формул:
и это соответствует интерполяции тригонометрическим многочленом
,
где коэффициенты считаются по тем же формулам.
Если вычисления проводить по вышеприведённым формулам, то на выполнения каждого из преобразований потребуется арифметических операций (считаем, что
уже вычислены). Если N не является простым числом, то количество операций можно значительно сократить, используя быстрое преобразование Фурье.
Пример использования
Рассмотрим применение тригонометрической интерполяции. Будем использовать для приближения следующий тригонометрический полином:
Будем искать приближение функции f(x). Пусть известно значения при
Тогда по формулам изложенным выше можно получить
Если интерполировать тригонометические функции и выбирать правильное число узлов, то погрешность приближается к нулю. Интересно рассмотреть функции, не являющиеся тригонометрическими, но обладающие периодом.
