Метод простых итераций

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 3: Строка 3:
Требуется найти корень этой функции, то есть <tex>x</tex> при котором <tex>f(x)=0</tex><br>
Требуется найти корень этой функции, то есть <tex>x</tex> при котором <tex>f(x)=0</tex><br>
Решение необходимо найти численно, то есть для реализации на ЭВМ. Для решения этой задачи предлагается использовать метод простых итераций и его обобщения.
Решение необходимо найти численно, то есть для реализации на ЭВМ. Для решения этой задачи предлагается использовать метод простых итераций и его обобщения.
-
=== Метод простых итераций в общем виде ===
+
== Метод простых итераций в общем виде ==
Заменеим исходное уравнение <tex>f(x)=0</tex> на эквивалентное <tex>g(x)=x</tex>.<br>
Заменеим исходное уравнение <tex>f(x)=0</tex> на эквивалентное <tex>g(x)=x</tex>.<br>
Итерации будем строить по правилу <tex>g(x_n)=x_{n+1}</tex><br>
Итерации будем строить по правилу <tex>g(x_n)=x_{n+1}</tex><br>
Строка 9: Строка 9:
Где <tex>s(x)</tex> не меняет знака на отрезке, на котором ищется корень функции.<br>
Где <tex>s(x)</tex> не меняет знака на отрезке, на котором ищется корень функции.<br>
Таким образом метод простой итерации - это одношаговый итерационны процесс.<br>
Таким образом метод простой итерации - это одношаговый итерационны процесс.<br>
 +
===Сходимость метода простых итераций===
 +
Метод сходится, если при <tex>k \to \infty<\tex> последовательность {<tex>x_n<\tex>} имеет предел.<br>
===Метод релаксации===
===Метод релаксации===
Положим <tex>s(x) = c = const </tex> b и рассмотрим метод в этом случае.<br>
Положим <tex>s(x) = c = const </tex> b и рассмотрим метод в этом случае.<br>
Тогда получим <tex>f(x_n) = \frac{x_{n+1}-x_{n}}{c}</tex>
Тогда получим <tex>f(x_n) = \frac{x_{n+1}-x_{n}}{c}</tex>
-
===Сходимость метода===
+
 
== Числовые примеры ==
== Числовые примеры ==

Версия 07:44, 24 ноября 2008

Содержание

Постановка задачи

Пусть есть функция y = f(x).
Требуется найти корень этой функции, то есть x при котором f(x)=0
Решение необходимо найти численно, то есть для реализации на ЭВМ. Для решения этой задачи предлагается использовать метод простых итераций и его обобщения.

Метод простых итераций в общем виде

Заменеим исходное уравнение f(x)=0 на эквивалентное g(x)=x.
Итерации будем строить по правилу g(x_n)=x_{n+1}
Для сходимости метода очень важен выбор функции g(x), поэтому ее обычно берут вида g(x)=x+s(x)f(x).
Где s(x) не меняет знака на отрезке, на котором ищется корень функции.
Таким образом метод простой итерации - это одношаговый итерационны процесс.

Сходимость метода простых итераций

Метод сходится, если при k \to \infty<\tex> последовательность {<tex>x_n<\tex>} имеет предел.<br>
===Метод релаксации===
Положим <tex>s(x) = c = const b и рассмотрим метод в этом случае.
Тогда получим f(x_n) = \frac{x_{n+1}-x_{n}}{c}


Числовые примеры

Рекомендации программисту

Заключение

Ссылки

Список литературы

  • А.А.Самарский, А.В.Гулин.  Численные методы. Москва «Наука», 1989.
  • Н.Н.Калиткин.  Численные методы. Москва «Наука», 1978.
Личные инструменты