Метод простых итераций

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 8: Строка 8:
Метод сходится, если при <tex>k \to \infty </tex> последовательность {<tex>x_n</tex>} имеет предел.<br>
Метод сходится, если при <tex>k \to \infty </tex> последовательность {<tex>x_n</tex>} имеет предел.<br>
Обозначим <tex>U_r(a)</tex> окресность точки <tex>a</tex> радиуса <tex>r</tex>, то есть <tex>U_r(a) = \{x:|x-a|<r\}</tex>.<br>
Обозначим <tex>U_r(a)</tex> окресность точки <tex>a</tex> радиуса <tex>r</tex>, то есть <tex>U_r(a) = \{x:|x-a|<r\}</tex>.<br>
-
'''Теорема.''' Если <tex>g(x)</tex> Липшиц непрерывна с константой <tex>q \in (0,1)</tex> на <tex>U_r(a)</tex>, то есть выполняется <tex>|g(x'')-g(x')|<q|x''-x'|</tex>. При этом если также выполнено <tex>|g(a)-a|<(1-q)r</tex>, то уравнение <tex>x = g(x)</tex> имеет единственное решение на <tex>U_r(a)</tex> и метод простой итерации сходится к решению при любом выборе начального приближжения <tex>x_1 \in U_r(a)</tex>.<br>
+
'''Теорема.''' Если <tex>g(x)</tex> Липшиц непрерывна с константой <tex>q \in (0,1)</tex> на <tex>U_r(a)</tex>, то есть выполняется <tex>|g(x'')-g(x')|<q|x''-x'|</tex>. При этом если также выполнено <tex>|g(a)-a|<(1-q)r</tex>, то уравнение <tex>x = g(x)</tex> имеет единственное решение на <tex>U_r(a)</tex> и метод простой итерации сходится к решению при любом выборе начального приближжения <tex>x_1 \in U_r(a)</tex>.Так же справедлива оценка: <tex>|x_k-x_*|<q^k|x_0-x_*|</tex>, где <tex>x_*</tex> - точное решение.<br>
-
Так же справедлива оценка: <tex>|x_k-x_*|<q^k|x_0-x_*|</tex>, где <tex>x_*</tex> - точное решение.<br>
+
Пусть <tex>g(x)</tex> непрерывно дифференцируема на <tex>U_r(a)</tex>, тогда из теоремы вытекают следующие утверждения:<br>
-
 
+
'''Следствие 1.''' Если <tex>|g'(x)| \le q < 1</tex> для <tex>x \in U_r(a)</tex>, выполнено <tex>|g(a)-a|<(1-q)r</tex>, и <tex>x_0 \in U_r(a)</tex>, тогда уравнение <tex>x = g(x)</tex> имеет единственное решение на <tex>U_r(a)</tex> и метод простой итерации сходится к решению
==Метод релаксации==
==Метод релаксации==
Так как для сходимости метода очень важен выбор функции <tex>g(x)</tex>, ее обычно берут вида <tex>g(x)=x+s(x)f(x)</tex>. Где <tex>s(x)</tex> не меняет знака на отрезке, на котором ищется корень функции.<br>
Так как для сходимости метода очень важен выбор функции <tex>g(x)</tex>, ее обычно берут вида <tex>g(x)=x+s(x)f(x)</tex>. Где <tex>s(x)</tex> не меняет знака на отрезке, на котором ищется корень функции.<br>

Версия 08:53, 24 ноября 2008

Содержание

Постановка задачи

Пусть есть функция y = f(x).
Требуется найти корень этой функции, то есть x при котором f(x)=0
Решение необходимо найти численно, то есть для реализации на ЭВМ. Для решения этой задачи предлагается использовать метод простых итераций.

Метод простых итераций в общем виде

Заменеим исходное уравнение f(x)=0 на эквивалентное g(x)=x,и будем строить итерации по правилу x_{n+1} = g(x_n). Таким образом метод простой итерации - это одношаговый итерационный процесс. Для того, что бы начать данный процесс, необходимо знать начальное приближение x_0. Выясним условия сходимости метода.

Сходимость метода простых итераций

Метод сходится, если при k \to \infty последовательность {x_n} имеет предел.
Обозначим U_r(a) окресность точки a радиуса r, то есть U_r(a) = \{x:|x-a|<r\}.
Теорема. Если g(x) Липшиц непрерывна с константой q \in (0,1) на U_r(a), то есть выполняется |g(x'')-g(x')|<q|x''-x'|. При этом если также выполнено |g(a)-a|<(1-q)r, то уравнение x = g(x) имеет единственное решение на U_r(a) и метод простой итерации сходится к решению при любом выборе начального приближжения x_1 \in U_r(a).Так же справедлива оценка: |x_k-x_*|<q^k|x_0-x_*|, где x_* - точное решение.
Пусть g(x) непрерывно дифференцируема на U_r(a), тогда из теоремы вытекают следующие утверждения:
Следствие 1. Если |g'(x)| \le q < 1 для x \in U_r(a), выполнено |g(a)-a|<(1-q)r, и x_0 \in U_r(a), тогда уравнение x = g(x) имеет единственное решение на U_r(a) и метод простой итерации сходится к решению

Метод релаксации

Так как для сходимости метода очень важен выбор функции g(x), ее обычно берут вида g(x)=x+s(x)f(x). Где s(x) не меняет знака на отрезке, на котором ищется корень функции.
Положим s(x) = c = const b и рассмотрим метод в этом случае.
Тогда получим f(x_n) = \frac{x_{n+1}-x_{n}}{c}.

Числовые примеры

Рекомендации программисту

Заключение

Ссылки

Список литературы

  • А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы. Москва «Наука», 1989.
  • Н.Н.Калиткин. Численные методы. Москва «Наука», 1978.
Личные инструменты