Моменты случайной величины
Материал из MachineLearning.
(Различия между версиями)
Строка 1: | Строка 1: | ||
- | ''' | + | '''Момент случайной величины''' — числовая характеристика [[Функция распределения|распределения]] данной [[Случайная величина|случайной величины]]. |
== Определения == | == Определения == | ||
Строка 5: | Строка 5: | ||
Если дана случайная величина <tex>\displaystyle X,</tex> определённая на некотором [[Вероятностное пространство|вероятностном пространстве]], то: | Если дана случайная величина <tex>\displaystyle X,</tex> определённая на некотором [[Вероятностное пространство|вероятностном пространстве]], то: | ||
- | * <tex>\displaystyle k</tex>-м ''' | + | * <tex>\displaystyle k</tex>-м '''начальным''' моментом случайной величины <tex>\displaystyle X,</tex> где <tex>k \in \texbb{N},</tex> называется величина |
:: <tex>\nu_k = \texbb{E}\left[X^k\right],</tex> | :: <tex>\nu_k = \texbb{E}\left[X^k\right],</tex> | ||
: если [[математическое ожидание]] <tex>\texbb{E}[*]</tex> в правой части этого равенства определено; | : если [[математическое ожидание]] <tex>\texbb{E}[*]</tex> в правой части этого равенства определено; | ||
- | * <tex>\displaystyle k</tex>-м ''' | + | * <tex>\displaystyle k</tex>-м '''центральным''' моментом случайной величины <tex>\displaystyle X</tex> называется величина |
:: <tex>\mu_k = \texbb{E}\left[(X - \texbb{E}X)^k\right],</tex> | :: <tex>\mu_k = \texbb{E}\left[(X - \texbb{E}X)^k\right],</tex> | ||
Версия 23:36, 7 января 2009
Момент случайной величины — числовая характеристика распределения данной случайной величины.
Содержание |
Определения
Если дана случайная величина определённая на некотором вероятностном пространстве, то:
- -м начальным моментом случайной величины где называется величина
- если математическое ожидание в правой части этого равенства определено;
- -м центральным моментом случайной величины называется величина
- -м факториальным моментом случайной величины называется величина
- если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.
Замечания
- Если определены моменты -го порядка, то определены и все моменты низших порядков
- В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные, и наоборот. Например:
- и т. д.
Геометрический смысл некоторых моментов
- равняется математическому ожиданию случайной величины и показывает относительное расположение распределения на числовой прямой.
- равняется дисперсии распределения и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.
- , будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение
- называется коэффициентом асимметрии.
- контролирует, насколько ярко выражена вершина распределения в окрестности среднего. Величина
- называется коэффициентом эксцесса распределения
Вычисление моментов
- Моменты могут быть вычислены напрямую через определение путём интегрирования соответствующих степеней случайной величины. В частности, для абсолютно непрерывного распределения с плотностью имеем:
если
если
- Также моменты случайной величины могут быть вычислены через ее характеристическую функцию :
- Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов то моменты могут быть вычислены по следующей формуле: