Распределение Стьюдента
Материал из MachineLearning.
(→Связь с другими распределениями) |
м (→Связь с другими распределениями) |
||
Строка 58: | Строка 58: | ||
: <tex>t^2 \sim \mathrm{F}(0,n)</tex>. | : <tex>t^2 \sim \mathrm{F}(0,n)</tex>. | ||
* Представление распределения Стьюдента в виде бесконечной смеси Гауссиан: | * Представление распределения Стьюдента в виде бесконечной смеси Гауссиан: | ||
- | : Пусть <tex>x \sim \mathrm{t}(x | n, \mu, \sigma^2) = \frac{\sigma\,\Gamma(\frac{n+1}{2})} {\sqrt{n\pi}\,\Gamma(\frac{n}{2})} (1 + \frac{1}{n} \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right)^2 )^{- | + | : Пусть <tex>x \sim \mathrm{t}(x | n, \mu, \sigma^2) = \frac{\sigma\,\Gamma(\frac{n+1}{2})} {\sqrt{n\pi}\,\Gamma(\frac{n}{2})} (1 + \frac{1}{n} \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right)^2 )^{-\frac{n + 1}{2}} \propto (1 + \frac{1}{n} \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right)^2 )^{-\frac{n + 1}{2}}</tex>. Тогда: |
: <tex>x \sim t(x | n, \mu, \sigma^2) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{N}(x | \mu, \frac{\sigma^2}{\lambda})\mathrm{G}(\lambda | \frac{n}{2}, \frac{n}{2}) \:\textrm{d}\lambda</tex>, где <tex>\mathrm{N}(x | \mu, \frac{\sigma^2}{\lambda})</tex> - плотность [[Нормальное распределение|нормального распределения]], <tex>\mathrm{G}(\lambda \mid \frac{n}{2}, \frac{n}{2})</tex> - плотность [[Гамма распределение|гамма распределения]] | : <tex>x \sim t(x | n, \mu, \sigma^2) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{N}(x | \mu, \frac{\sigma^2}{\lambda})\mathrm{G}(\lambda | \frac{n}{2}, \frac{n}{2}) \:\textrm{d}\lambda</tex>, где <tex>\mathrm{N}(x | \mu, \frac{\sigma^2}{\lambda})</tex> - плотность [[Нормальное распределение|нормального распределения]], <tex>\mathrm{G}(\lambda \mid \frac{n}{2}, \frac{n}{2})</tex> - плотность [[Гамма распределение|гамма распределения]] | ||
Версия 07:32, 14 февраля 2020
Плотность вероятности | |
Функция распределения | |
Параметры | - число степеней свободы |
Носитель | |
Плотность вероятности | |
Функция распределения | где - гипергеометрическая функция |
Математическое ожидание | |
Медиана | |
Мода | |
Дисперсия | если |
Коэффициент асимметрии | если |
Коэффициент эксцесса | где |
Информационная энтропия |
|
Производящая функция моментов | не определена |
Характеристическая функция |
Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.
Содержание |
Определение
Пусть — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что . Тогда распределение случайной величины , где
называется распределением Стьюдента с степенями свободы. Пишут . Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность
- ,
где — гамма-функция Эйлера.
Свойства распределения Стьюдента
- Распределение Стьюдента симметрично. В частности если , то
- .
Моменты
Случайная величина имеет только моменты порядков , причём
- , если нечётно;
- , если чётно.
В частности,
- ,
- , если .
Моменты порядков не определены.
Связь с другими распределениями
- Распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:
- .
- Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при . Пусть дана последовательность случайных величин , где . Тогда
- по распределению при .
- Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, имеет распределение Фишера. Пусть . Тогда
- .
- Представление распределения Стьюдента в виде бесконечной смеси Гауссиан:
- Пусть . Тогда:
- , где - плотность нормального распределения, - плотность гамма распределения
Применение распределения Стьюдента
Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения. В частности, пусть независимые случайные величины, такие что . Обозначим выборочное среднее этой выборки, а выборочную оценку её дисперсии. Тогда
- .