Случайный процесс

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Новая: Роль: Профессор в области машинного обучения, пишущий статью для академической энциклопедии MachineLearning...)
Строка 1: Строка 1:
-
Роль: Профессор в области машинного обучения, пишущий статью для академической энциклопедии MachineLearning.ru.
 
-
Задача: Написать научную энциклопедическую статью «Случайный процесс
+
{{Шаблон:Философия ИИ/Статья создана с помощью ИИ|модель=Gemini Pro|проверка=Укажите_ваше_имя}}
-
Требования:
+
== Введение ==
-
Все формулы оформлять через <tex>...</tex>.
+
'''Случайный процесс''' (стохастический процесс, англ. ''stochastic process'') — математический объект, описывающий динамику системы, состояние которой изменяется случайным образом во времени или в пространстве. Теория случайных процессов является одним из фундаментальных разделов современной теории вероятностей и математической статистики, предоставляя строгий формальный аппарат для квантификации и анализа неопределенности, развивающейся в рамках некоторой параметрической системы координат.
-
Формат MediaWiki. Раскрыть:
+
В контексте анализа данных и машинного обучения случайные процессы играют определяющую роль. Они служат основой для непараметрического байесовского моделирования (например, регрессия на основе гауссовских процессов), формализации процессов последовательного принятия решений в условиях неопределенности (марковские процессы принятия решений в обучении с подкреплением), построения передовых генеративных архитектур (диффузионные модели), а также для теоретического анализа макроскопического поведения стохастических оптимизаторов.
-
определение случайного процесса;
+
== Определение и математическая формализация ==
-
математическую формализацию;
+
-
основные свойства и классификацию случайных процессов;
+
-
связь случайных процессов с вероятностными моделями и машинным обучением;
+
-
применение случайных процессов в задачах машинного обучения;
+
-
современные методы, использующие случайные процессы.
+
-
1. История: Указать ключевых авторов и этапы развития теории случайных процессов, а также её применение в машинном обучении.
+
-
2. Практический пример: Обязательно привести пример реального применения случайных процессов:
+
Пусть задано фиксированное вероятностное пространство <tex>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})</tex>, где <tex>\Omega</tex> — пространство элементарных исходов, <tex>\mathcal{F}</tex> — <tex>\sigma</tex>-алгебра подмножеств <tex>\Omega</tex>, а <tex>\mathbb{P}</tex> — вероятностная мера. Пусть также задано параметрическое множество <tex>T</tex>, которое чаще всего интерпретируется как время (дискретное или непрерывное) или пространственные координаты.
-
описать задачу;
+
'''Случайным процессом''' называется семейство случайных величин <tex>\{X(t, \omega), t \in T\}</tex>, заданных на вероятностном пространстве <tex>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})</tex> и принимающих значения в некотором измеримом пространстве состояний <tex>(\mathbb{R}^d, \mathcal{B}^d)</tex>.
-
указать модель;
+
-
объяснить, где используется случайный процесс;
+
-
показать, почему он важен.
+
-
3. Структура статьи:
+
Существуют две дуальные и равноправные математические трактовки случайного процесса:
 +
# '''Семейство случайных величин:''' Если зафиксировать значение параметра <tex>t \in T</tex>, то функция исходов <tex>X_t(\omega) = X(t, \omega)</tex> представляет собой классическую случайную величину на <tex>\Omega</tex>.
 +
# '''Траектория (реализация):''' Если зафиксировать элементарный исход <tex>\omega \in \Omega</tex>, то функция параметра <tex>X_\omega(t) = X(t, \omega)</tex> является детерминированной функцией, отображающей <tex>T \to \mathbb{R}^d</tex>. Данная функция называется траекторией, или реализацией случайного процесса.
-
Введение
+
Для полного описания случайного процесса используются '''конечномерные распределения'''. Для любого конечного набора моментов параметров <tex>\{t_1, \dots, t_k\} \subset T</tex> определяется совместная функция распределения:
-
Определение и математическая формализация
+
-
Основные свойства и классификация
+
-
Применение в машинном обучении
+
-
Практический пример
+
-
Заключение
+
-
В конце добавить:
+
: <tex>F_{t_1, \dots, t_k}(x_1, \dots, x_k) = \mathbb{P}(X(t_1) \le x_1, \dots, X(t_k) \le x_k)</tex>
-
список литературы;
+
Согласно фундаментальной '''теореме Колмогорова о согласованности''' (1933), если семейство конечномерных распределений удовлетворяет естественным условиям симметрии и согласованности, то существует уникальный случайный процесс на некотором вероятностном пространстве, обладающий данными распределениями.
-
список рекомендуемых материалов.
+
 
 +
=== Исторический контекст ===
 +
Становление теории случайных процессов происходило в первой половине XX века. Математическое описание броуновского движения как непрерывного случайного процесса было предложено Л. Башелье (1900) в контексте моделирования финансовых рынков и строго формализовано Н. Винером (1923), в честь которого базовый процесс диффузии получил название винеровского. Основы теории процессов с дискретными состояниями были заложены А. А. Марковым (1906) при анализе чередования букв в тексте. Окончательная аксиоматизация теории на базе теории меры принадлежит А. Н. Колмогорову (1933).
 +
 
 +
В области искусственного интеллекта концепты случайных процессов начали активно интегрироваться с конца 1990-х годов. Важнейшей вехой стала работа К. Уильямса и К. Расмуссена (Williams, Rasmussen, 1996), которые перенесли гауссовские процессы из геостатистики в байесовское машинное обучение. В XXI веке теория получила новый виток развития благодаря марковским процессам в обучении с подкреплением (Sutton, Barto, 2018) и стохастическим дифференциальным уравнениям в диффузионных генеративных моделях (Sohl-Dickstein et al., 2015; Ho et al., 2020).
 +
 
 +
== Основные свойства и классификация ==
 +
 
 +
Классификация случайных процессов строится на топологии параметрического множества <tex>T</tex>, структуры пространства состояний и вероятностных взаимосвязей между точками траектории.
 +
 
 +
* '''По характеру параметра времени:'''
 +
** ''Дискретное время (случайные последовательности):'' Множество параметров счетно, например, <tex>T = \mathbb{Z}</tex> или <tex>T = \mathbb{N}</tex>. Примерами являются авторегрессионные временные ряды (ARIMA).
 +
** ''Непрерывное время:'' Параметр принадлежит непрерывному интервалу, например, <tex>T = [0, +\infty)</tex> или <tex>T = \mathbb{R}</tex>. Примеры: пуассоновский процесс, винеровский процесс.
 +
 
 +
* '''По структуре вероятностных зависимостей (основные классы):'''
 +
** ''Марковские процессы:'' Процессы, обладающие свойством отсутствия последействия. Будущее состояние системы при условии, что полностью известно настоящее, не зависит от её прошлого:
 +
::: <tex>\mathbb{P}(X(t_n) \le x_n \mid X(t_{n-1}), \dots, X(t_1)) = \mathbb{P}(X(t_n) \le x_n \mid X(t_{n-1}))</tex> для <tex>t_1 < \dots < t_{n-1} < t_n</tex>.
 +
** ''Мартингалы:'' Процессы, моделирующие «честную игру». Условное математическое ожидание будущего значения процесса при известной предыстории равно его текущему значению:
 +
::: <tex>\mathbb{E}[X(t_{n+1}) \mid X(t_1), \dots, X(t_n)] = X(t_n)</tex>.
 +
** ''Гауссовские процессы:'' Случайные процессы, для которых любое конечномерное распределение является многомерным нормальным распределением. Такой процесс полностью задаётся своей функцией среднего <tex>m(t) = \mathbb{E}[X(t)]</tex> и ковариационной функцией <tex>k(t, t') = \text{cov}(X(t), X(t'))</tex>.
 +
 
 +
* '''По стационарности и эргодичности:'''
 +
** ''Стационарность в узком смысле:'' Все конечномерные распределения инвариантны относительно сдвига во времени на любую величину <tex>\nu</tex>.
 +
** ''Стационарность в широком смысле:'' Математическое ожидание постоянно, <tex>\mathbb{E}[X(t)] = \mu</tex>, а ковариационная функция зависит только от разности аргументов: <tex>k(t, t') = R(t - t')</tex>.
 +
** ''Эргодичность:'' Свойство процесса, позволяющее заменять усреднение по ансамблю исходов (вероятностное ожидание) усреднением по времени вдоль одной достаточно длинной траектории:
 +
::: <tex>\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T X(t, \omega) \, dt = \mathbb{E}[X(t)]</tex> (с вероятностью 1).
 +
 
 +
== Применение в машинном обучении ==
 +
 
 +
Случайные процессы обеспечивают строгое математическое описание неопределенности в современных алгоритмах:
 +
 
 +
# '''Гауссовские процессы для регрессии и классификации (Gaussian Process Regression, GPR):''' Вместо явной параметризации целевой функции (например, весами нейросети) задаётся априорное распределение на бесконечномерном пространстве функций в виде гауссовского процесса <tex>f(x) \sim \mathcal{GP}(0, k(x, x'))</tex>. При получении обучающей выборки аналитически рассчитывается апостериорное распределение, дающее математическое ожидание предсказания и его дисперсию в любой новой точке.
 +
# '''Марковские процессы принятия решений (Markov Decision Process, MDP):''' Служат математическим ядром обучения с подкреплением (Reinforcement Learning). Взаимодействие агента со средой, где переходы между состояниями <tex{s_t \in S}</tex> под воздействием действий <tex>a_t \in A</tex> определяются вероятностным марковским ядром <tex>\mathbb{P}(s_{t+1} \mid s_t, a_t)</tex>, оптимизируется для максимизации ожидаемой дисконтированной награды.
 +
# '''Диффузионные генеративные модели (Diffusion Models):''' Процесс прямого добавления шума в данные формализуется как решение стохастического дифференциального уравнения (СДУ) на базе винеровского процесса. Искусственная нейронная сеть обучается аппроксимировать обратный по времени случайный процесс, восстанавливая структурированный объект (например, изображение) из чистого гауссовского шума.
 +
# '''Динамика стохастического градиентного спуска (SGD):''' Траектория оптимизации параметров нейросетей методом SGD может быть непрерывно аппроксимирована стохастическим дифференциальным уравнением Ланжевена. Анализ этого случайного процесса позволяет объяснить феномен выхода градиентного спуска из локальных минимумов и его неявное смещение в сторону обобщающих решений.
 +
 
 +
== Практический пример ==
 +
 
 +
Рассмотрим сквозное применение случайных процессов в методологии автоматического машинного обучения (AutoML).
 +
 
 +
* '''Описание задачи:''' Оптимизация гиперпараметров (Hyperparameter Tuning) глубокой нейросети. Требуется найти набор непрерывных параметров <tex>x</tex> (например, learning rate, вес регуляризации), минимизирующий ошибку на валидационной выборке. Вычисление целевой функции <tex>f(x)</tex> крайне дорого, так как одна точка требует полного обучения сети в течение нескольких часов. Это классическая задача оптимизации «чёрного ящика» (black-box optimization).
 +
* '''Модель:''' Применяется байесовская оптимизация (Bayesian Optimization), где в качестве суррогатной модели используется регрессия на основе гауссовских процессов (GPR).
 +
* '''Где используется случайный процесс:''' Неизвестная функция качества <tex>f(x)</tex> моделируется как реализация гауссовского процесса:
 +
: <tex>f(x) \sim \mathcal{GP}(m(x), k(x, x'))</tex>
 +
На основе нескольких начальных экспериментов вычисляется апостериорное распределение процесса. В любой неисследованной точке пространства параметров <tex>x</tex> модель возвращает нормальное распределение с ожидаемым качеством <tex>\mu(x)</tex> и стандартным отклонением (неопределенностью) <tex>\sigma(x)</tex>. На основе этого рассчитывается функция полезности (acquisition function), например, ожидаемое улучшение (Expected Improvement):
 +
: <tex>\alpha_{EI}(x) = \mathbb{E}[\max(0, f_{min} - f(x)) \mid \mathcal{D}]</tex>
 +
Точка максимума <tex>x^*</tex> функции полезности определяет параметры для следующего эксперимента.
 +
* '''Почему он важен:''' Оценка дисперсии <tex>\sigma^2(x)</tex>, предоставляемая случайным процессом, позволяет строго разрешить дилемму «исследования и эксплуатации» (exploration vs exploitation). Алгоритм оптимально балансирует между проверкой областей с высоким предсказанным качеством (эксплуатация) и областей с высокой неопределенностью случайного процесса (исследование), сокращая число дорогостоящих шагов оптимизации на порядки по сравнению со случайным поиском.
 +
 
 +
== Заключение ==
 +
 
 +
Теория случайных процессов связывает классическую теорию вероятностей со структурным анализом данных. Развитие от марковских цепей до диффузионных СДУ демонстрирует универсальность стохастического исчисления. В современную эпоху сверхпараметризованных моделей случайные процессы остаются важнейшим инструментом для количественной оценки неопределенности, обеспечивая интерпретируемость искусственного интеллекта.
 +
 
 +
== Список литературы ==
 +
 
 +
* ''Колмогоров А. Н.'' Основные понятия теории вероятностей. — М.: Наука, 1974. — 120 с.
 +
* ''Rasmussen C. E., Williams C. K. I.'' Gaussian Processes for Machine Learning. — MIT Press, 2006. — 248 p.
 +
* ''Sutton R. S., Barto A. G.'' Reinforcement Learning: An Introduction. — 2nd ed. — MIT Press, 2018. — 552 p.
 +
* ''Ho J., Jain A., Abbeel P.'' Denoising diffusion probabilistic models // Advances in Neural Information Processing Systems. — 2020. — Vol. 33. — P. 6840–6851.
 +
 
 +
== Рекомендуемые материалы ==
 +
 
 +
* ''Ширяев А. Н.'' Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004. — 928 с.
 +
* Курс лекций «Байесовские методы в машинном обучении», факультет ВМК МГУ / ФКН ВШЭ, Д. П. Ветров.
 +
* Видеолекции «Математические методы обучения по прецедентам», К. В. Воронцов, МФТИ.

Версия 12:28, 6 июля 2026

Шаблон:Философия ИИ/Статья создана с помощью ИИ

Содержание

Введение

Случайный процесс (стохастический процесс, англ. stochastic process) — математический объект, описывающий динамику системы, состояние которой изменяется случайным образом во времени или в пространстве. Теория случайных процессов является одним из фундаментальных разделов современной теории вероятностей и математической статистики, предоставляя строгий формальный аппарат для квантификации и анализа неопределенности, развивающейся в рамках некоторой параметрической системы координат.

В контексте анализа данных и машинного обучения случайные процессы играют определяющую роль. Они служат основой для непараметрического байесовского моделирования (например, регрессия на основе гауссовских процессов), формализации процессов последовательного принятия решений в условиях неопределенности (марковские процессы принятия решений в обучении с подкреплением), построения передовых генеративных архитектур (диффузионные модели), а также для теоретического анализа макроскопического поведения стохастических оптимизаторов.

Определение и математическая формализация

Пусть задано фиксированное вероятностное пространство (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}), где \Omega — пространство элементарных исходов, \mathcal{F} — \sigma-алгебра подмножеств \Omega, а \mathbb{P} — вероятностная мера. Пусть также задано параметрическое множество T, которое чаще всего интерпретируется как время (дискретное или непрерывное) или пространственные координаты.

Случайным процессом называется семейство случайных величин \{X(t, \omega), t \in T\}, заданных на вероятностном пространстве (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) и принимающих значения в некотором измеримом пространстве состояний (\mathbb{R}^d, \mathcal{B}^d).

Существуют две дуальные и равноправные математические трактовки случайного процесса:

  1. Семейство случайных величин: Если зафиксировать значение параметра t \in T, то функция исходов X_t(\omega) = X(t, \omega) представляет собой классическую случайную величину на \Omega.
  2. Траектория (реализация): Если зафиксировать элементарный исход \omega \in \Omega, то функция параметра X_\omega(t) = X(t, \omega) является детерминированной функцией, отображающей T \to \mathbb{R}^d. Данная функция называется траекторией, или реализацией случайного процесса.

Для полного описания случайного процесса используются конечномерные распределения. Для любого конечного набора моментов параметров \{t_1, \dots, t_k\} \subset T определяется совместная функция распределения:

F_{t_1, \dots, t_k}(x_1, \dots, x_k) = \mathbb{P}(X(t_1) \le x_1, \dots, X(t_k) \le x_k)

Согласно фундаментальной теореме Колмогорова о согласованности (1933), если семейство конечномерных распределений удовлетворяет естественным условиям симметрии и согласованности, то существует уникальный случайный процесс на некотором вероятностном пространстве, обладающий данными распределениями.

Исторический контекст

Становление теории случайных процессов происходило в первой половине XX века. Математическое описание броуновского движения как непрерывного случайного процесса было предложено Л. Башелье (1900) в контексте моделирования финансовых рынков и строго формализовано Н. Винером (1923), в честь которого базовый процесс диффузии получил название винеровского. Основы теории процессов с дискретными состояниями были заложены А. А. Марковым (1906) при анализе чередования букв в тексте. Окончательная аксиоматизация теории на базе теории меры принадлежит А. Н. Колмогорову (1933).

В области искусственного интеллекта концепты случайных процессов начали активно интегрироваться с конца 1990-х годов. Важнейшей вехой стала работа К. Уильямса и К. Расмуссена (Williams, Rasmussen, 1996), которые перенесли гауссовские процессы из геостатистики в байесовское машинное обучение. В XXI веке теория получила новый виток развития благодаря марковским процессам в обучении с подкреплением (Sutton, Barto, 2018) и стохастическим дифференциальным уравнениям в диффузионных генеративных моделях (Sohl-Dickstein et al., 2015; Ho et al., 2020).

Основные свойства и классификация

Классификация случайных процессов строится на топологии параметрического множества T, структуры пространства состояний и вероятностных взаимосвязей между точками траектории.

  • По характеру параметра времени:
    • Дискретное время (случайные последовательности): Множество параметров счетно, например, T = \mathbb{Z} или T = \mathbb{N}. Примерами являются авторегрессионные временные ряды (ARIMA).
    • Непрерывное время: Параметр принадлежит непрерывному интервалу, например, T = [0, +\infty) или T = \mathbb{R}. Примеры: пуассоновский процесс, винеровский процесс.
  • По структуре вероятностных зависимостей (основные классы):
    • Марковские процессы: Процессы, обладающие свойством отсутствия последействия. Будущее состояние системы при условии, что полностью известно настоящее, не зависит от её прошлого:
\mathbb{P}(X(t_n) \le x_n \mid X(t_{n-1}), \dots, X(t_1)) = \mathbb{P}(X(t_n) \le x_n \mid X(t_{n-1})) для t_1 < \dots < t_{n-1} < t_n.
    • Мартингалы: Процессы, моделирующие «честную игру». Условное математическое ожидание будущего значения процесса при известной предыстории равно его текущему значению:
\mathbb{E}[X(t_{n+1}) \mid X(t_1), \dots, X(t_n)] = X(t_n).
    • Гауссовские процессы: Случайные процессы, для которых любое конечномерное распределение является многомерным нормальным распределением. Такой процесс полностью задаётся своей функцией среднего m(t) = \mathbb{E}[X(t)] и ковариационной функцией k(t, t') = \text{cov}(X(t), X(t')).
  • По стационарности и эргодичности:
    • Стационарность в узком смысле: Все конечномерные распределения инвариантны относительно сдвига во времени на любую величину \nu.
    • Стационарность в широком смысле: Математическое ожидание постоянно, \mathbb{E}[X(t)] = \mu, а ковариационная функция зависит только от разности аргументов: k(t, t') = R(t - t').
    • Эргодичность: Свойство процесса, позволяющее заменять усреднение по ансамблю исходов (вероятностное ожидание) усреднением по времени вдоль одной достаточно длинной траектории:
\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T X(t, \omega) \, dt = \mathbb{E}[X(t)] (с вероятностью 1).

Применение в машинном обучении

Случайные процессы обеспечивают строгое математическое описание неопределенности в современных алгоритмах:

  1. Гауссовские процессы для регрессии и классификации (Gaussian Process Regression, GPR): Вместо явной параметризации целевой функции (например, весами нейросети) задаётся априорное распределение на бесконечномерном пространстве функций в виде гауссовского процесса f(x) \sim \mathcal{GP}(0, k(x, x')). При получении обучающей выборки аналитически рассчитывается апостериорное распределение, дающее математическое ожидание предсказания и его дисперсию в любой новой точке.
  2. Марковские процессы принятия решений (Markov Decision Process, MDP): Служат математическим ядром обучения с подкреплением (Reinforcement Learning). Взаимодействие агента со средой, где переходы между состояниями <tex{s_t \in S}</tex> под воздействием действий a_t \in A определяются вероятностным марковским ядром \mathbb{P}(s_{t+1} \mid s_t, a_t), оптимизируется для максимизации ожидаемой дисконтированной награды.
  3. Диффузионные генеративные модели (Diffusion Models): Процесс прямого добавления шума в данные формализуется как решение стохастического дифференциального уравнения (СДУ) на базе винеровского процесса. Искусственная нейронная сеть обучается аппроксимировать обратный по времени случайный процесс, восстанавливая структурированный объект (например, изображение) из чистого гауссовского шума.
  4. Динамика стохастического градиентного спуска (SGD): Траектория оптимизации параметров нейросетей методом SGD может быть непрерывно аппроксимирована стохастическим дифференциальным уравнением Ланжевена. Анализ этого случайного процесса позволяет объяснить феномен выхода градиентного спуска из локальных минимумов и его неявное смещение в сторону обобщающих решений.

Практический пример

Рассмотрим сквозное применение случайных процессов в методологии автоматического машинного обучения (AutoML).

  • Описание задачи: Оптимизация гиперпараметров (Hyperparameter Tuning) глубокой нейросети. Требуется найти набор непрерывных параметров x (например, learning rate, вес регуляризации), минимизирующий ошибку на валидационной выборке. Вычисление целевой функции f(x) крайне дорого, так как одна точка требует полного обучения сети в течение нескольких часов. Это классическая задача оптимизации «чёрного ящика» (black-box optimization).
  • Модель: Применяется байесовская оптимизация (Bayesian Optimization), где в качестве суррогатной модели используется регрессия на основе гауссовских процессов (GPR).
  • Где используется случайный процесс: Неизвестная функция качества f(x) моделируется как реализация гауссовского процесса:
f(x) \sim \mathcal{GP}(m(x), k(x, x'))

На основе нескольких начальных экспериментов вычисляется апостериорное распределение процесса. В любой неисследованной точке пространства параметров x модель возвращает нормальное распределение с ожидаемым качеством \mu(x) и стандартным отклонением (неопределенностью) \sigma(x). На основе этого рассчитывается функция полезности (acquisition function), например, ожидаемое улучшение (Expected Improvement):

\alpha_{EI}(x) = \mathbb{E}[\max(0, f_{min} - f(x)) \mid \mathcal{D}]

Точка максимума x^* функции полезности определяет параметры для следующего эксперимента.

  • Почему он важен: Оценка дисперсии \sigma^2(x), предоставляемая случайным процессом, позволяет строго разрешить дилемму «исследования и эксплуатации» (exploration vs exploitation). Алгоритм оптимально балансирует между проверкой областей с высоким предсказанным качеством (эксплуатация) и областей с высокой неопределенностью случайного процесса (исследование), сокращая число дорогостоящих шагов оптимизации на порядки по сравнению со случайным поиском.

Заключение

Теория случайных процессов связывает классическую теорию вероятностей со структурным анализом данных. Развитие от марковских цепей до диффузионных СДУ демонстрирует универсальность стохастического исчисления. В современную эпоху сверхпараметризованных моделей случайные процессы остаются важнейшим инструментом для количественной оценки неопределенности, обеспечивая интерпретируемость искусственного интеллекта.

Список литературы

  • Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М.: Наука, 1974. — 120 с.
  • Rasmussen C. E., Williams C. K. I. Gaussian Processes for Machine Learning. — MIT Press, 2006. — 248 p.
  • Sutton R. S., Barto A. G. Reinforcement Learning: An Introduction. — 2nd ed. — MIT Press, 2018. — 552 p.
  • Ho J., Jain A., Abbeel P. Denoising diffusion probabilistic models // Advances in Neural Information Processing Systems. — 2020. — Vol. 33. — P. 6840–6851.

Рекомендуемые материалы

  • Ширяев А. Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004. — 928 с.
  • Курс лекций «Байесовские методы в машинном обучении», факультет ВМК МГУ / ФКН ВШЭ, Д. П. Ветров.
  • Видеолекции «Математические методы обучения по прецедентам», К. В. Воронцов, МФТИ.
Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%81»
Личные инструменты