Мультиколлинеарность

Материал из MachineLearning.

Версия 11:17, 3 апреля 2010

Мультиколлинеарность - тесная корреляционная взаимосвязь между отбираемыми для анализа факторами, совместно воздействующими на общий результат, которая затрудняет оценивание регрессионных параметров.

Основные положения

Если регрессоры в модели связаны строгой функциональной зависимостью, то имеет место полная (совершенная) мультиколлинеарность. Данный вид мультиколлинеарности может возникнуть, например, в задаче линейной регрессии, решаемой методом наименьших квадратов, если определитель матрицы будет равен нулю. Полная мультиколлинеарность не позволяет однозначно оценить параметры исходной модели и разделить вклады регрессоров в выходную переменную по результатм наблюдений.

В задачах с реальными данными случай полной мультиколлинеарности встречается крайне редко. Вместо этого в прикладной области часто приходится иметь дело с частичной мультиколлинеарностью, которая характеризуется коэффициентами парной корреляции между регрессорами. В случае частичной мультиколлинеарности матрица будет иметь полный ранг, но ее определитель будет близок к нулю. В этом случае формально можно получить оценки параметров модели и их точностные показатели, но все они будут неустойчивыми.

Среди последствий частичной мультиколлинеарности можно выделить следующие:

• увеличение дисперсий оценок параметров
• уменьшение значений t-статистик для параметров, что приводит к неправильному выводу об их статистической значимости
• получение неустойчивых оценок параметров модели и их дисперсий
• возможность получения неверного с точки зрения теории знака у оценки параметра

Точные количественные критерии для обнаружения частичной мультиколлинеарности отсутствуют. В качестве признаков ее наличия чаще всего используют следующие:

• Превышение некого порога модулем парного коэффициента корреляции между регрессорами и
• Близость к нулю определителя матрицы
• Большое количество статистически незначимых параметров в модели

Методы устранения мультиколлинеарности

Существует два основных подхода к решению этой задачи.

• Метод дополнительных регрессий
  • Строятся уравнения регрессии, которые связывают каждый из регрессоров со всеми остальными
  • Вычисляются коэффициенты детерминации для каждого уравнения регрессии
  • Проверяется статистическая гипотеза с помощью F-теста

    Вывод: если гипотеза не отвергается, то данный регрессор не приводит к мультиколлинеарности.

• Метод последовательного присоединения
  • Строится регрессионная модель с учетом всех предполагаемых регрессоров. По признакам делается вывод о возможном присутствии мультиколлинеарности
  • Расчитывается матрица корреляций и выбирается регрессор, имеющий наибольшую корреляцию с выходной переменной
  • К выбранному регрессору последовательно добавляются каждый из оставшихся регрессоров и вычисляются скорректированные коэффициенты детерминации для каждой из моделей. К модели присоединяется тот регрессор, который обеспечивает наибольшее значение скорректированного <>R^2</tex>

    Процесс присоединения регрессоров прекращается, когда значение скорректированного становится меньше достигнутого на предыдущем шаге.

Каким бы образом не осуществлялся отбор факторов, уменьшение их числа приводит к улучшению обусловленности матрицы , а, следовательно, и к повышению качества оценок параметров модели.

Помимо перечисленных методов существует ещё один, более простой, дающий достаточно хорошие результаты — это метод предварительного центрирования. Суть метода сводится к тому, что перед нахождением параметров математической модели проводится центрирование исходных данных: из каждого значения в ряде данных вычитается среднее по ряду: . Эта процедура позволяет так развести гиперплоскости условий МНК, чтобы углы между ними были перпендикулярны. В результате этого оценки модели становятся устойчивыми (Построение многофакторных моделей в условиях мультиколлинеарности).

Литература

1. Костюнин В. И. Проблема мультиколлинеарности в регрессионных моделях. Презентация PPT.
2. Светуньков С.Г. Построение многофакторных моделей в условиях мультиколлинеарности.

Смотри также

• Ридж-регрессия
• Лассо
• LARS
• Регрессионный анализ
• Фактор инфляции дисперсии