Методы парабол (Симпсона) и более высоких степеней (Ньютона - Котеса)
Материал из MachineLearning.
(→Построение квадратурных формул) |
(→Построение квадратурных формул) |
||
Строка 45: | Строка 45: | ||
:В силу вышеизложенного выше, вычисление приближенного значения интеграла производится при помощи квадратурной формулы | :В силу вышеизложенного выше, вычисление приближенного значения интеграла производится при помощи квадратурной формулы | ||
+ | |||
+ | <center><tex>\int_a^b{f(s)ds}\approx\sum_{k=0}^m{c_kf(s_k)}.</tex></center> | ||
+ | |||
+ | Данную формулу при помощи замены <tex>x=a+(b-a)s, f(x)=f(a+(b-a)s)</tex> можно привести к стандартному виду | ||
{{ Формула | {{ Формула | ||
- | |<center><tex>\ | + | |<center><tex>\int_0^1{f(s)ds}\approx\sum_{k=0}^m{c_kf(s_k)}.</tex></center> |
|<tex>(5)</tex> | |<tex>(5)</tex> | ||
}} | }} | ||
Строка 73: | Строка 77: | ||
Так, полагая <tex>m=2,s_0=0,s_1=\frac{1}{2},s_2=1</tex>, имеем систему <tex>c_0+c_1+c_2=1, \frac{c_1}{2}+c_2=\frac{1}{2}, \frac{c_1}{4}+c_2=\frac{1}{3}</tex>, решением которой являются веса '''формулы Симпсона''': <tex>c_0=c_2=\frac{1}{6},c_1=\frac{4}{6}</tex>. Таким образом, формула Симпсона является точной для полинома второй степени. Однако, в силу симметрии, она является точной и для всех полиномов третьей степени: | Так, полагая <tex>m=2,s_0=0,s_1=\frac{1}{2},s_2=1</tex>, имеем систему <tex>c_0+c_1+c_2=1, \frac{c_1}{2}+c_2=\frac{1}{2}, \frac{c_1}{4}+c_2=\frac{1}{3}</tex>, решением которой являются веса '''формулы Симпсона''': <tex>c_0=c_2=\frac{1}{6},c_1=\frac{4}{6}</tex>. Таким образом, формула Симпсона является точной для полинома второй степени. Однако, в силу симметрии, она является точной и для всех полиномов третьей степени: | ||
+ | |||
+ | <center><tex>P_3(s)=1+\alpha_1 (s-\frac{1}{2})+\alpha_2 (s-\frac{1}{2})^2 +\alpha_3 (s-\frac{1}{2})^3,</tex></center> | ||
+ | |||
+ | так как она точна для <tex>f(s)=(s-\frac{1}{2})^3</tex>: | ||
+ | |||
+ | <center><tex>J_3[(s-\frac{1}{2})^3]=\frac{1}{6}((-\frac{1}{2})^3+4\cdot 0+(\frac{1}{2})^3)=0,</tex></center> | ||
+ | <center><tex>L[(s-\frac{1}{2})^3]=\int_0^1{(s-\frac{1}{2})^3ds}=0.</tex></center> | ||
+ | |||
+ | Формулы треугольника и трапеции точны для линейной функции,т.е. для полинома первой степени, в чем легко убедиться непосредственно. В общем случае в качестве <tex>P_m(s)</tex> можно выбрать интерполяционный полином Лагранжа | ||
+ | |||
+ | <center><tex>P_m(s)=\sum_{k=0}^m{l_k^{(m)}(s)f(s_k)},</tex></center> | ||
+ | |||
+ | где <tex>l_k^{(m)}(s)</tex> - интерполяционный коэффициент Лагранжа. Из равенства | ||
+ | |||
+ | <center><tex>L[P_m]=\int_0^1{P_m(s)ds}=\sum_{k=0}^m{f(s_k)\int_0^1{l_k^{(m)}(s)ds}}=\sum_{k=0}^m{c_k f(s_k)}</tex></center> | ||
+ | |||
+ | видно, что формула <tex>(5)</tex> верна для полинома степени <tex>m</tex>, если весовые коэффициенты <tex>c_k</tex> определяются по формуле | ||
+ | |||
+ | {{Формула | ||
+ | |<center><tex>c_k=\int_0^1{l_k^{(m)}(s)ds}.</tex></center> | ||
+ | |<tex>(6)</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | Формулы такого типа называют квадратурными '''формулами Котеса'''. | ||
== Изложение метода == | == Изложение метода == |
Версия 16:26, 26 сентября 2008
автор: Гордеев Дмитрий
Содержание |
Введение
Постановка математической задачи
- Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла
|
где - заданная и интегрируемая на отрезке функция. На отрезке вводится сетка и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число
|
где - значения функции в узлах , где - весовые множители, зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора . Формула называется квадратурной формулой.
- Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов и таких весов , чтобы погрешность квадратурной формулы
|
была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина зависит от гладкости ). Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов. Введем на равномерную сетку с шагом , т.е. множество точек , и представим интеграл в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:
|
Для построения формулы численного интегрирования на всм отрезке достаточно построить квадратурную формулу для интеграла
|
на частичном отрезке и воспользоваться свойством .
Построение квадратурных формул
- В силу вышеизложенного выше, вычисление приближенного значения интеграла производится при помощи квадратурной формулы
Данную формулу при помощи замены можно привести к стандартному виду
|
В общем случае узлы и веса неизвестны и подлежат определению.
Рассмотрим случай, когда узлы заданы и требуется найти веса квадратурной формулы . Будем пользоваться требованием: формула должна быть точной для любого полинома степени . Для того чтобы полином степени удовлетворял данному требованию, достаточно потребовать, чтобы квадратурная формула была точной для любого одночлена степени . Учитывая, что , получаем уравнение
Эта система имеет единственное решение, так как ее определителем является определитель Вандермонда, отличный от нуля если нет совпадающих узлов, .
Так, полагая , имеем систему , решением которой являются веса формулы Симпсона: . Таким образом, формула Симпсона является точной для полинома второй степени. Однако, в силу симметрии, она является точной и для всех полиномов третьей степени:
так как она точна для :
Формулы треугольника и трапеции точны для линейной функции,т.е. для полинома первой степени, в чем легко убедиться непосредственно. В общем случае в качестве можно выбрать интерполяционный полином Лагранжа
где - интерполяционный коэффициент Лагранжа. Из равенства
видно, что формула верна для полинома степени , если весовые коэффициенты определяются по формуле
|
Формулы такого типа называют квадратурными формулами Котеса.
Изложение метода
Анализ метода
Числовой пример
Рекомендации программисту
Заключение
Список литературы
- А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы М.: Наука, 1989.
- А.А.Самарский. Введение в численные методы М.: Наука, 1982.