Рациональная интерполяция
Материал из MachineLearning.
м (викификация, категория) |
|||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
==Введение== | ==Введение== | ||
| - | Некоторые функции нельзя с достаточной точностью приблизить полиномами или полиномиальное приближение очень медленно сходится. В этом случае разумно обратиться к другому методу - к дробно-рациональному приближению (иногда называют просто ''рациональное''), которое | + | Некоторые функции нельзя с достаточной точностью приблизить полиномами или полиномиальное приближение очень медленно сходится. В этом случае разумно обратиться к другому методу - к дробно-рациональному приближению (иногда называют просто ''рациональное''), которое соответствует отношению двух многочленов. |
<tex>R(x)=\frac{a_0+a_1x+\dots+a_px^p}{b_0+b_1x+\dots+b_px^p}, p+q+1=n</tex> | <tex>R(x)=\frac{a_0+a_1x+\dots+a_px^p}{b_0+b_1x+\dots+b_px^p}, p+q+1=n</tex> | ||
| Строка 9: | Строка 9: | ||
<tex> \sum_{j=0}^{p} a_j x_j^j-f(x_i)\sum_{j=0}^{q}b_j x_i^j=0, i=1,\ldots, n</tex> | <tex> \sum_{j=0}^{p} a_j x_j^j-f(x_i)\sum_{j=0}^{q}b_j x_i^j=0, i=1,\ldots, n</tex> | ||
| - | Таким образом | + | Таким образом получаем систему ''n'' линейных алгебраических уравнений относительно ''n+1'' неизвестных. |
Функция ''R(x)'' может быть записана в явном виде в случаях, когда ''n'' нечетное и ''p=q'', и когда ''n'' четное и ''p-q=1''. | Функция ''R(x)'' может быть записана в явном виде в случаях, когда ''n'' нечетное и ''p=q'', и когда ''n'' четное и ''p-q=1''. | ||
Для этого следует вычислить обратные разделенные разности, определяемые условиями | Для этого следует вычислить обратные разделенные разности, определяемые условиями | ||
| Строка 15: | Строка 15: | ||
<tex>f^{-}(x_k;x_l)=\frac{x_k-x_l}{f(x_k)-f(x_l)}</tex> | <tex>f^{-}(x_k;x_l)=\frac{x_k-x_l}{f(x_k)-f(x_l)}</tex> | ||
| - | и | + | и рекуррентным соотношением |
<tex> f^{-}(x_k;\ldots;x_l)=\frac{x_l-x_k}{f^{-}(x_{k+1};\ldots;x_l)-f^{-}(x_k;\ldots;x_{l-1})}</tex> | <tex> f^{-}(x_k;\ldots;x_l)=\frac{x_l-x_k}{f^{-}(x_{k+1};\ldots;x_l)-f^{-}(x_k;\ldots;x_{l-1})}</tex> | ||
| Строка 26: | Строка 26: | ||
==Погрешность вычислений== | ==Погрешность вычислений== | ||
| - | |||
==Пример использования== | ==Пример использования== | ||
| - | |||
==Литературы== | ==Литературы== | ||
# ''Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков.'' Численные методы. Изд-во "Лаборатория базовых знаний". 2003. | # ''Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков.'' Численные методы. Изд-во "Лаборатория базовых знаний". 2003. | ||
| + | |||
| + | == См. также == | ||
| + | * [[Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008]] | ||
| + | |||
| + | [[Категория:Учебные задачи]] | ||
Версия 19:08, 19 октября 2008
Содержание |
Введение
Некоторые функции нельзя с достаточной точностью приблизить полиномами или полиномиальное приближение очень медленно сходится. В этом случае разумно обратиться к другому методу - к дробно-рациональному приближению (иногда называют просто рациональное), которое соответствует отношению двух многочленов.
Коэффициенты можно найти из совокупности соотношений
которые можно записать в виде
Таким образом получаем систему n линейных алгебраических уравнений относительно n+1 неизвестных. Функция R(x) может быть записана в явном виде в случаях, когда n нечетное и p=q, и когда n четное и p-q=1. Для этого следует вычислить обратные разделенные разности, определяемые условиями
и рекуррентным соотношением
после чего интерполирующая рациональная функция записывается в виде цепной дроби
Дробно-рациональное интерполирование при правильном выборе узлов целесообразно использовать для функций с нерегулярным характером поведения.
Погрешность вычислений
Пример использования
Литературы
- Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Численные методы. Изд-во "Лаборатория базовых знаний". 2003.
