Многомерное нормальное распределение
Материал из MachineLearning.
(Различия между версиями)
Bogdan (Обсуждение | вклад)
(Новая: '''Многоме́рное норма́льное распределе́ние''' (или '''многоме́рное га́уссовское распределе́ние''') в [[Те...)
К следующему изменению →
Версия 14:29, 19 ноября 2009
Многоме́рное норма́льное распределе́ние (или многоме́рное га́уссовское распределе́ние) в теории вероятностей — это обобщение одномерного нормального распределения.
Определения
Случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:
- Произвольная линейная комбинация компонентов вектора
имеет нормальное распределение или является константой.
- Существует вектор независимых стандартных нормальных случайных величин
, вещественный вектор
и матрица
размерности
, такие что:
-
.
- Существует вектор
и неотрицательно определённая симметричная матрица
размерности
, такие что плотность вероятности вектора
имеет вид:
-
,
где — определитель матрицы
, а
— матрица обратная к
.
- Существует вектор
и неотрицательно определённая симметричная матрица
размерности
, такие что характеристическая функция вектора
имеет вид:
-
.
Замечания
- Если одно из приведённых выше определений принято в качестве основного, то другие выводятся в качестве теорем.
- Вектор
является вектором средних значений
, а
— его ковариационная матрица.
- В случае
, многомерное нормальное распределение сводится к обычному нормальному распределению.
- Если случайный вектор
имеет многомерное нормальное распределение, то пишут
.
Свойства многомерного нормального распределения
- Если вектор
имеет многомерное нормальное распределение, то его компоненты
имеют одномерное нормальное распределение. Обратное, вообще говоря, неверно!
- Если случайные величины
имеют одномерное нормальное распределение и совместно независимы, то случайный вектор
имеет многомерное нормальное распределение. Матрица ковариаций
такого вектора диагональна.
- Если
имеет многомерное нормальное распределение, и его компоненты попарно некоррелированы, то они независимы. Однако, если только компоненты
имеют одномерное нормальное распределение и попарно не коррелируют, то отсюда не следует, что они независимы.
- Контрпример. Пусть
, а
с равными вероятностями. Тогда если
, то корреляция
и
равна нулю. Однако, эти случайные величины зависимы.
- Многомерное нормальное распределение устойчиво относительно линейных преобразований. Если
, а
— произвольная матрица размерности
, то
-
.