Метод Белсли
Материал из MachineLearning.
Линейные регрессионные модели часто используются для исследования зависимости между ответом и признаками, однако результаты часто сомнительны, так как данные не всегда подходящие. Например, при большом количестве признаков часто многие из них сильно зависимы друг от друга, и эта зависимость уменьшает вероятность получения адекватных результатов. Belsley, Kuh и Welsch предложили метод анализа мультиколлинеарности основанный на индексах обусловленности(the scaled condition indexes) и дисперсионных долях(the variance-decomposition proportions).
Содержание |
Анализ коллинеарности
Линейная регрессионная модель:
(1)
где - n-мерный ветор ответа(зависимой переменной), - n x p (n>p) матрица признаков - p-мерный вектор неизвестных коэффициентов, - p-мерный вектор случайного возмущения с нулевым матожиданием и ковариационной матрицей , где это n x n единичная матрица, а . Будем считать что имеет ранг p.
Если есть коллинеарность между признаками согласно Belsley имеет смысл использовать сингулярное разложение(SVD) чтобы определить вовлеченные переменные. Матрица сингулярного разложения определяется как:
(2)
Где - n x p ортогональная матрица, - p x p верхняя диагональная матрица, чьи неотрицательные элементы являются сингулярными значениями , - p x p ортогональная матрица, чьи колонки это собственные вектора . Если существует коллинеарная зависимоть, то
будут какие-либо сингулярные значения, скажем, (р - s), которые близки к нулю.
Предположим, что , или просто , элементы матрицы упорядочены так, что
И рассмотрим разбиение
где и диогональные, и недиогональнык блоки нулевые. , или просто , содержит достаточно большие сингулярные значения, а , или , содержит близкие к нулю.
Теперь разделим и соответственно:
где и соответствуют первым s наибольших сингулярных значений, а и содержат веторов соответствующих малым сингулярным значениям.
Матрица ортогональна, т.е , так же как и и . Таким образом :
Т.к тоже ортогональна, то
Таким образом разложение нам дает:
Обозначим слагаемые в правой части как
(8)
Заметим что получившиеся матрицы ортогональны, т.е :
(9)
что обеспечивает возможность ортогонального разложения :
(10)
Здесь все матрицы имеют размер и полагая что имеет ранг p, и имеють ранг s и (p-s) соответственно. Тогда для разложения (2) :
(11)
Далее мы получаем
(12)
и
(13)
Равенства в (12) и (13) получаются из (8) и (10) ссылаясь на то что из ортогональности следует . Это значит что содержит всю информацию, и только ее, входящую в которая свободна от коллинеарности связанной с остальными (p-s) собственными векторами.
Соответственно содержит только информацию связанную с коллинеарностью делая прогноз на дополнительное пространство . Это пространство связанное с элементами матрицы близкими к 0 называется квази-нулевым пространством
Следовательно предложенное разложение подчеркивает как часть полученную из s основных компонентов которые в меньшей степени участвуют в коллинеарности. же содержит информацию связанную с p-s компонентами которые участвую в коллинеарных зависимостях. Переменные, входящие в коллинеарности, это те, которые имеют наибольшие координаты в столбцах матрицы .
Вектор минимизирующего ошибку в метода наименьших квадратов:
где - псевдообратная матрица и последнее равенство выполняется только если имеет полный ранг. Используя предыдущее разложение может быть показано что:
Последнее равенство получается из того что
- сингулярное разложение и следовательно . Для аналогично.
Подставляя (15) и (7) в (14) получаем:
Окончательно модель:
Где это вектор остатков.
Из (15) получаем:
Элементы на главной диогонали это VIF, которые могут быть разложены на компоненты соответствующие каждому и