Методы парабол (Симпсона) и более высоких степеней (Ньютона - Котеса)
Материал из MachineLearning.
автор: Гордеев Дмитрий
Содержание |
Введение
Постановка математической задачи
- Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла
| |
где - заданная и интегрируемая на отрезке
функция. На отрезке вводится сетка
и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число
| |
где - значения функции
в узлах
, где
- весовые множители, зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора
. Формула
называется квадратурной формулой.
- Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов
и таких весов
, чтобы погрешность квадратурной формулы
|
была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина зависит от гладкости
). Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов.
Введем на
равномерную сетку с шагом
, т.е. множество точек
, и представим интеграл
в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:
| |
Для построения формулы численного интегрирования на всм отрезке достаточно построить квадратурную формулу для интеграла
| |
на частичном отрезке и воспользоваться свойством
.
Построение квадратурных формул
- В силу вышеизложенного выше, вычисление приближенного значения интеграла производится при помощи квадратурной формулы
| |
В общем случае узлы и веса неизвестны и подлежат определению.
Рассмотрим случай, когда узлы заданы и требуется найти веса квадратурной формулы . Будем пользоваться требованием: формула
должна быть точной для любого полинома
степени
. Для того чтобы полином степени
удовлетворял данному требованию, достаточно потребовать, чтобы квадратурная формула была точной для любого одночлена
степени
. Учитывая, что
, получаем
уравнение
Эта система имеет единственное решение, так как ее определителем является определитель Вандермонда, отличный от нуля если нет совпадающих узлов, .
Так, полагая , имеем систему
, решением которой являются веса формулы Симпсона:
. Таким образом, формула Симпсона является точной для полинома второй степени. Однако, в силу симметрии, она является точной и для всех полиномов третьей степени:
Изложение метода
Анализ метода
Числовой пример
Рекомендации программисту
Заключение
Список литературы
- А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы М.: Наука, 1989.
- А.А.Самарский. Введение в численные методы М.: Наука, 1982.