Методы наивысшей алгебраической точности (Гаусса - Кристоффеля)
Материал из MachineLearning.
Содержание |
Постановка задачи
Рассмотрим задачу поиска определённого интеграла вида
где функция непрерывна на отрезке
, а весовая функция
непрерывна на интервале
.
Выразить интеграл через элементарные функции в общем случае не удаётся, поэтому обычно
заменяют на некоторую аппроксимирующую функцию
. Она подбирается таким образом, чтобы интеграл от неё легко считался в элементарных функциях. Стандартный пример
- некоторый обобщённый интерполяционный многочлен. При этом
заменяется линейным выражением, со значениями в узлах в качестве коэффициентов:
где функция - остаточный член аппроксимации. Подстановкой (2) в (1) получаем формулу численного интегрирования (квадратурную формулу):
,
где называются узлами,
- весами, а
- погрешностью или остаточным членом. Интеграл приближённо заменяется суммой, причём узлы и коэффициенты этой суммы не зависят от
.
Таким образом, задача сводится к отысканию подходящих наборов узлов и весов, таких, чтобы обеспечить минимизацию погрешности
в приемлемое время.
Изложение метода
Анализ метода и ошибок
Числовой пример
Рекомендации программисту
Заключение
Список литературы
- Н.Н.Калиткин. Численные методы М.: Наука, 1978.