Тригонометрическая интерполяция
Материал из MachineLearning.
Содержание |
Дискретное преобразование Фурье
В прикладных задачах часто используются различные преобразования Фурье функций непрерывного аргументся, а также представлений функций с помощью сходящихся тригонометрических рядов.
Всякую непрерывно дифференцируемую фцнкцию можно разложить в ряд Фурье:
коэффициенты находятся по следущим формулам
Но как правила функция задана только в некоторых точках или у нас есть возможность узнать ее значения только в некотором конечном числе точек. Допустим, .В этом случае аналогом функции непрервной интерполяции функции будет дискретный вариант:
Разложение имеет место когда функцию можно приблизить тригонометрическим многочленом следущего вида в заданных нам точках
Система функций является ортогональной, на множестве точек
при том что
, таким образом разложение имеет место и коэффициенты
представляются в виде:
Далее для удобства записи будем использовать
Часто используется следущий вид формул:
и это соответсвует интерполяции тригонометрическим многочленом
, где коэффициенты
считаются по тем же формулам.
Быстрое преобразование Фурье
Если вычисления проводить по вышеприведенноым формулам, то на выполнения каждого из преобразований потребуется арифметических операций (считаем, что
уже вычислены). Если N не является простым числом, то количество операций можно значительно сократить, используя быстрое преобразование Фурье.
Постановка задачи
Интерполирование функции — приближенное или нахождение точной величины по известным значениям функции в конечном числе точек. В случае тригонометрической интерполяции аппроксимирующая функция ищется в виде
Таким образом, ищется приближение функции тригонометрическими полиномами в смысле Фурье.
Потребность в подобной интерполяции возникает в случае, когда приближаемая функция по своей природе предполагается периодической с известным периодом, например 2π.
