Метод простых итераций

Материал из MachineLearning.

Содержание 1 Постановка задачи 2 Метод простых итераций в общем виде 2.1 Сходимость метода простых итераций 2.2 Метод релаксации 3 Числовые примеры 4 Рекомендации программисту 5 Заключение 6 Ссылки 7 Список литературы

Постановка задачи

Пусть есть функция .
Требуется найти корень этой функции, то есть при котором
Решение необходимо найти численно, то есть для реализации на ЭВМ. Для решения этой задачи предлагается использовать метод простых итераций и его обобщения.

Метод простых итераций в общем виде

Заменеим исходное уравнение на эквивалентное .
Итерации будем строить по правилу
Для сходимости метода очень важен выбор функции , поэтому ее обычно берут вида
Где не меняет знака на отрезке, на котором ищется корень функции.
Таким образом метод простой итерации - это одношаговый итерационны процесс.

Сходимость метода простых итераций

Метод сходится, если при последовательность {} имеет предел.
Обозначим , то есть окрестность с радисом .
Теорема.Если Липшиц непрерывна с константой на , то есть выполняется . При этом если также выполнено , то уравнение имеет решение на и метод простой итерации сходится к решению при любом выборе начального приближжения .

Метод релаксации

Положим b и рассмотрим метод в этом случае.
Тогда получим .

Числовые примеры

Рекомендации программисту

Заключение

Ссылки

• Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008

Список литературы

• А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы. Москва «Наука», 1989.
• Н.Н.Калиткин. Численные методы. Москва «Наука», 1978.