Обсуждение:Двойственность (оптимизация)

Роль: Ты — ведущий исследователь в области машинного обучения и математической оптимизации. Напиши эталонную энциклопедическую статью для профессионального ресурса MachineLearning.ru на тему «Метод условного градиента (алгоритм Франка — Вульфа) (оптимизация)».

Целевая аудитория: мотивированные студенты, преподаватели, исследователи и практикующие специалисты по AI/ML. Статья должна быть полезна как новичку — определения и основные идеи объясняются понятно и интуитивно, — так и профессионалу: приводятся строгие математические результаты, актуальные научные работы и полезные ссылки.

Требования к содержанию:

* Дай формальное определение метода условного градиента и объясни его геометрическую интуицию.

* Покажи связь с выпуклой оптимизацией, линейным оракулом минимизации, двойственностью, проекционным градиентным спуском и выпуклым анализом.

* Разбери выбор шага, направления условного градиента и геометрии допустимого множества.

* Приведи основные свойства, теоремы и оценки сходимости для гладких, выпуклых и сильно выпуклых целевых функций.

* Объясни роль норм, двойственных норм, константы кривизны и сильной выпуклости в оценках сходимости.

* Рассмотри важные варианты, включая классический алгоритм Франка — Вульфа, away-step Frank–Wolfe, pairwise Frank–Wolfe и fully corrective Frank–Wolfe.

* Сделай акцент на применениях в машинном обучении: разреженное обучение, матричное дополнение, структурированные задачи, обучение на симплексе, оптимизация ядерных норм и обучение вероятностных моделей.

* Сравни метод условного градиента с проекционным градиентным спуском, зеркальным спуском, проксимальными методами и координатным спуском: требования к оракулам, оценки сходимости, разреженность решений, вычислительная сложность и области применения.

* Укажи ограничения алгоритма, типичные ошибки при выборе шага и линейного оракула и случаи, когда метод условного градиента практически предпочтительнее проекционных методов.

* Используй современные первичные источники и актуальные научные результаты. Чётко отделяй классические результаты от новых обобщений и вариантов алгоритма.

* Обязательно напиши про применение в ML.

Критерии качества:

* Никакой воды, рекламных формулировок и типичных нейросетевых штампов.

* Стиль академический, строгий и связный, но доступный для первого знакомства с темой.

* Все утверждения об оценках и свойствах сопровождай точными предпосылками.

* Не смешивай метод условного градиента, проекционный градиентный спуск, зеркальный спуск и проксимальные методы без явного объяснения различий.

* Профильные термины оформляй как внутренние вики-ссылки, например [[Выпуклая оптимизация]], [[Линейный оракул минимизации]], [[Проекционный градиентный спуск]], [[Метод условного градиента]]. Добавь их побольше.

* Для ключевых определений и теорем приводи ссылки на оригинальные статьи или авторитетные монографии.

Формат:

* Используй только классическую вики-разметку MachineLearning.ru: заголовки вида == Раздел == и === Подраздел ===, списки через * и #. Markdown запрещён.

* Все математические формулы заключай только в теги <tex>...</tex>. Не используй <math>...</math> и символы $. Учти то, что на сайте используется система MediaWiki, не все формулы из латеха поддерживаются.

* Выключные формулы оформляй так:

  :: <tex>...</tex>

* Сноски оформляй через <ref>Библиографическое описание</ref>.

* Добавь раздел == Примечания == с тегом <references/>. Сделай отдельно Примечания и Литературу (литература - список статей и книг, использованных при написании). Для списка литературы используй шаблоны {{статья}}, {{книга}}, {{cite web}}, как в русскоязычной Википедии, и оформляй список литературы как ненумерованный, через *. Как написано в документации сайта: шаблон для простановки библиографических ссылок на статьи из журналов и периодических сборников в случаях, когда на издание есть ссылка из текста статьи, должен использоваться совместно с тегами <ref></ref> и <references />. Пример использования: {{статья |автор = Бубекина Н.В. |заглавие = Книга и библиотека в нравственном воспитании школьников |ссылка = [http://www.lib.ru](http://www.lib.ru) |издание = Массовая библиотека '93: Теория и практика |тип = Сб |место = М. |год = 1993 |том = 2 |номер = 5 |страницы = 29—38 }} 

* Внизу страницы укажи категории [[Категория:Методы оптимизации]], [[Категория:Машинное обучение]], [[Категория:Энциклопедия анализа данных]] и при необходимости ещё 1–2 релевантные категории.

В начале статьи добавь:

{{well|Статья написана с использованием LLM ChatGPT (GPT-5.6 Sol Medium) и проверена участником [[Участник:Aleksei Kovalenko|Aleksei Kovalenko]] 20:00, 15 июля 2026 (MSD). Промпт приводится полностью в [[Обсуждение:Метод условного градиента (алгоритм Франка — Вульфа) (оптимизация)]].}}

{{TOCright}}

Выдай только готовый вики-код статьи в документе .txt. Не добавляй комментарии или пояснения до и после текста статьи.

Проблема в рендеринге теха: сейчас не отображается \mathop, \hbox, \substack, \gtrsim, также не поддерживается русский язык \text{} в формулах. Почини это.