Участник:Kropotov/Песочница

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Вариант 1


1. Рассматривается задача классификации объектов на два класса по одному неотрицательному признаку. Предполагается, что значение признака x для объектов из классов K_1,K_2 распределено по закону Рэлея:

p(x|K_j) = \beta_j x\exp\left(-\frac{\beta_j}{2}x^2\right),\ \mathbf{x\ge 0},j=1,2.
Пусть \beta_1=7.3,\beta_2=5.1. Требуется найти области значений признака x, соответствующие отнесению объектов в каждый из двух классов байесовским классификатором, если априорные вероятности классов равны, соответственно, 0.1 и 0.9.

2. Имеется задача распознавания с 3-мя классами и 2-мя признаками. Предполагается, что с использованием метода <<Линейная машина>> для каждого класса найдены следующие линейные разделяющие функции:

\begin{align*}&f_1(x_1,x_2) = 5+5x_1-4x_2,\\ &f_2(x_1,x_2) = -4-x_1-x_2,\\ &f_3(x_1,x_2) = 5+4x_1+5x_2.\end{align*}

Требуется изобразить на двумерной диаграмме области, соответствующие отнесению к классам 1, 2 и 3.

3. Предполагается, что линейный дискриминант Фишера используется для распознавания объектов из двух классов по паре признаков x_1 и x_2. Требуется вычислить вектор, задающий направление перпендикуляра к прямой, разделяющей объекты двух классов:

Класс 1   Класс 2
x_1 2.7 3.4 4.1 x_1 -4.5 -3.3 -3.3
x_2 4.2 3.1 2.9 x_2 -1.2 -1.5 -0.6


4. При проведении выборов на ряде избирательных участков производятся фальсификации результатов голосования. Посылка наблюдателя на такой участок предотвращает фальсификации. Пусть известно несколько точек ROC-кривой для метода идентификации <<грязных>> участков. Требуется определить оптимальную стратегию распределения наблюдателей по участкам и максимальный выигрыш относительно стратегии равномерного распределения по участкам, если всего участков 1000, наблюдателей~--- 100 и доля <<грязных>> участков~--- 20\%. При этом под оптимальностью понимается максимизация количества честных участков.

Чувствительность Ложная тревога
0.52 0.11
0.70 0.19
0.99 0.32

5. Задана таблица совместных значений прогнозируемой переменной Y и объясняющей переменной X. Требуется вычислить ковариацию между Y и X, коэффициент корреляции между Y и X, коэффициенты одномерной линейной регрессии.

\begin{tabular}{c|ccccc} Y & 1.9 & 2.4 & 3.0 & 6.6 & 9.6 \\ X & 8.3 & 7.5 & 5.8 & -2.0 & -2.6 \end{tabular}

6. Заданы таблицы значений бинарных признаков для классов K_1 и K_2. Требуется найти все тупиковые тесты минимальной длины, а также указать для каждого класса по одному представительному набору, который не совпадает по признакам с тупиковым тестом.

Класс 1    Класс 2
X1 X2 X3 X4 X1 X2 X3 X4
0 1 1 1 1 1 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1
1 0 1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0 1 1

Вариант 2

  1. Рассматривается задача классификации объектов на два класса по одному признаку. Предполагается, что значение признака $x$ для объектов из двух классов $K_1,K_2$ распределено по лапласовскому закону

$$ p(x|K_j) = \frac{\alpha_j}{2}\exp(-\alpha_j|x-\mu_j|),\ j=1,2, $$ с параметрами $\mu_1 = -2,\alpha_1 = 4,\mu_2 = 2,\alpha_2 = 4$. Требуется найти области значений признака $x$, соответствующие отнесению объектов в каждый из двух классов байесовским классификатором, если априорные вероятности классов равны, соответственно, 0.8 и 0.2.

  1. Имеется задача распознавания с 4-мя классами и одним признаком. Предполагается, что с использованием метода <<Линейная машина>> для каждого класса найдены следующие линейные разделяющие функции:

\begin{align*} &f_1(x) = -1.8-0.1x,&\quad &f_3(x) = 2.2-3.6x,\\ &f_2(x) = -1.2-3.8x,&\quad &f_4(x) = -3.1+4.5x. \end{align*} Требуется изобразить на графике области, соответствующие отнесению к каждому из четырех классов.

  1. Предполагается, что линейный дискриминант Фишера используется для распознавания объектов из двух классов по паре признаков $x_1$ и $x_2$. Требуется вычислить вектор, задающий направление перпендикуляра к прямой, разделяющей объекты двух классов:

\begin{center} \begin{tabular}{ccc} Класс 1 & & Класс 2 \\ \begin{tabular}{c|ccc} $x_1$ & 2.7 & 2.5 & 1.1 \\ $x_2$ & 1.5 & 1.2 & 2.7 \end{tabular} & \qquad\qquad & \begin{tabular}{c|cccc} $x_1$ & -3.2 & -3.7 & -4.2 & -4.1 \\ $x_2$ & -4.9 & -1.2 & -3.6 & -5.1 \end{tabular} \end{tabular} \end{center}

  1. Банком тестируется два метода идентификации недобросовестных заёмщиков. Известно, что средний доход от одного добросовестного заёмщика составляет 3 единиц, средняя величина потерь от одного недобросовестного заёмщика~--- 9 единиц. Известно, что доля недобросовестных заёмщиков 30\%. Известно несколько точек графика ROC–кривой для двух распознающих операторов. Требуется установить на основании этой информации целесообразность использования банком одной из технологий распознавания, оценить максимальный дополнительный доход на одного заёмщика.

\begin{center} \begin{tabular}{cc} \begin{tabular}{cc} Чувствительность & Ложная тревога \\ \hline 0.58 & 0.11 \\ 0.67 & 0.19 \\ 0.93 & 0.19 \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{cc} Чувствительность & Ложная тревога \\ \hline 0.53 & 0.04 \\ 0.90 & 0.27 \\ 0.92 & 0.33 \\ \end{tabular} \end{tabular} \end{center}

  1. Задана таблица совместных значений прогнозируемой переменной $Y$ и объясняющей переменной $X$. Требуется вычислить ковариацию между $Y$ и $X$, коэффициент корреляции между $Y$ и $X$, коэффициенты одномерной линейной регрессии.

\begin{center} \begin{tabular}{c|ccccc} $Y$ & 0.8 & 1.9 & 7.2 & 8.5 & 9.6 \\ $X$ & -1.9 & 4.3 & 5.4 & 6.9 & 8.3 \end{tabular} \end{center}

  1. Заданы таблицы значений бинарных признаков для классов $K_1$ и $K_2$. Требуется найти \textbf{все} тупиковые тесты минимальной длины, а также указать для каждого класса по одному представительному набору, который не совпадает по признакам с тупиковым тестом.

\begin{center} \begin{tabular}{ccc} Класс 1 & & Класс 2 \\ \begin{tabular}{cccc} X1 & X2 & X3 & X4 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{tabular} & \qquad\qquad & \begin{tabular}{cccc} X1 & X2 & X3 & X4 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{tabular} \end{tabular} \end{center} \end{enumerate}

Вариант 3

  1. Рассматривается задача классификации объектов на два класса по одному \textit{дискретному} признаку. Предполагается, что значение признака $x$ для объектов из первого класса имеет равномерное дискретное распределение на интервале $[a,b]$, а для второго класса~--- по геометрическому закону:

$$ \mathbb{P}(x=k|q) = q^k(1-q),\ k=0,1,2,\dots $$ Пусть $a=0,b=4,q=0.9$. Требуется найти области значений признака $x$, соответствующие отнесению объектов в каждый из двух классов байесовским классификатором, если априорные вероятности классов равны, соответственно, 0.7 и 0.3.

  1. Имеется задача распознавания с 3-мя классами и 2-мя признаками. Предполагается, что с использованием метода <<Линейная машина>> для каждого класса найдены следующие линейные разделяющие функции:

\begin{align*} &f_1(x_1,x_2) = -5+x_1+3x_2,\\ &f_2(x_1,x_2) = -2+4x_1+5x_2,\\ &f_3(x_1,x_2) = 5+4x_1+2x_2. \end{align*} Требуется изобразить на двумерной диаграмме области, соответствующие отнесению к классам 1, 2 и 3.

  1. Предполагается, что линейный дискриминант Фишера используется для распознавания объектов из двух классов по паре признаков $x_1$ и $x_2$. Требуется вычислить вектор, задающий направление перпендикуляра к прямой, разделяющей объекты двух классов:

\begin{center} \begin{tabular}{ccc} Класс 1 & & Класс 2 \\ \begin{tabular}{c|cccc} $x_1$ & 1.9 & 0.8 & 1.3 & 1.6 \\ $x_2$ & 3.3 & -0.1 & 1.8 & 1.8 \end{tabular} & \qquad\qquad & \begin{tabular}{c|ccc} $x_1$ & -1.9 & -1.6 & -0.4 \\ $x_2$ & -3.0 & -3.4 & -1.1 \end{tabular} \end{tabular} \end{center}

  1. При проведении выборов на ряде избирательных участков производятся фальсификации результатов голосования. Посылка наблюдателя на такой участок предотвращает фальсификации. Пусть известно несколько точек ROC-кривой для метода идентификации <<грязных>> участков. Требуется определить оптимальную стратегию распределения наблюдателей по участкам и максимальный выигрыш относительно стратегии равномерного распределения по участкам, если всего участков 3000, наблюдателей~--- 600 и доля <<грязных>> участков~--- 20\%. При этом под оптимальностью понимается максимизация количества честных участков.

\begin{center} \begin{tabular}{cc} Чувствительность & Ложная тревога \\ \hline 0.54 & 0.01 \\ 0.68 & 0.33 \\ 0.71 & 0.35 \\ \end{tabular} \end{center}

  1. Задана таблица совместных значений прогнозируемой переменной $Y$ и объясняющей переменной $X$. Требуется вычислить ковариацию между $Y$ и $X$, коэффициент корреляции между $Y$ и $X$, коэффициенты одномерной линейной регрессии.

\begin{center} \begin{tabular}{c|ccccc} $Y$ & 9.2 & 8.6 & 8.1 & 5.9 & 4.7 \\ $X$ & 7.9 & 5.9 & 3.2 & 1.6 & -0.1 \end{tabular} \end{center}

  1. Заданы таблицы значений бинарных признаков для классов $K_1$ и $K_2$. Требуется найти \textbf{все} тупиковые тесты минимальной длины, а также указать для каждого класса по одному представительному набору, который не совпадает по признакам с тупиковым тестом.

\begin{center} \begin{tabular}{ccc} Класс 1 & & Класс 2 \\ \begin{tabular}{cccc} X1 & X2 & X3 & X4 \\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{tabular} & \qquad\qquad & \begin{tabular}{cccc} X1 & X2 & X3 & X4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{tabular} \end{tabular} \end{center}




Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Kropotov/%D0%9F%D0%B5%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0»
Личные инструменты